經典證明：Ptolemy定理的無字證明

Ptolemy 定理是平面幾何中非常漂亮的定理：圓內接四邊形的對邊乘積之和等於對角線的乘積。

具體地說，如果把一個圓內接四邊形的四條邊順次記為 a 、 b 、 c 、 d ，把兩條對角線的長度記為 e 和 f ，那麼一定有 a · c + b · d = e · f 。

Ptolemy 是一個非常重要的定理，由它出發可以得出很多推論。例如，在圓內接矩形上應用 Ptolemy 定理，可以立即得到勾股定理。

William Derrick 和 James Hirstein 在最近的 The College Mathematics Journal 上給出了下面這個 Ptolemy 定理的無字證明，你能看明白嗎？

左圖是一個圓內接四邊形，由於同弧所對的圓周角相等，因而圖中會產生四對相等的角，我們用 α 、 β 、 γ 、 δ 來標記。由於圓內接四邊形對角互補，因此有 α + β + γ + δ = 180° 。

現在，把陰影三角形放大到原來的 f 倍，這個三角形的三邊將會變為 a · f 、 b · f 、 e · f 。把紅色三角形放大到原來的 b 倍，於是三條邊的長度將會變為 b · a 、 b · d 、 b · f 。注意到兩個放大後的三角形都有一條長為 b · f 的邊。

同樣地，把藍色三角形放大 a 倍，三邊長將變為 a · b 、 a · c 、 a · f ，它和放大版的陰影三角形都有一條長度為 a · f 邊。

因此，我們可以像右圖那樣，把三個放大版的三角形拼到一起。由於 α + β + γ + δ = 180° ，因此右圖中上面那三個點是共線的，整個圖形是一個四邊形。

觀察四邊形四個內角的關係可以很快看出，這個四邊形是一個平行四邊形。

因而，它的上下兩條對邊應該相等，於是有 a · c + b · d = e · f 。

本文來自

http://www.matrix67.com/blog/archives/5094

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