用真正的數學吸引學生，讓學生習得真正的數學

此次專訪，我第一次見到張雪明老師，也是我第一次訪問數學教師。出乎意料的是，這位既是江蘇省特級教師又是上海市特級教師的數學老師身上竟處處透著儒雅，與既有印象中數學老師的形象並不十分相符，倒更像是位溫文爾雅、學術淵博的語文老師。不知道這樣一位特別的老師在教學上是否也會打破大家對於數學的傳統認知而別具一格呢？

數學特級教師張雪明

人文特色下的數學教學

當我們提到復旦附中，首先就會想到這是一所人文氣息很濃的中學。因此，我不禁提出疑問，在這樣的校園氛圍中，數學教學上會不會與其他學校有所不同？對此，張老師表示，正由於人文見長的特色，復旦附中一直會被誤解理科是被弱化的，而事實卻並非如此。

據張老師介紹，他目前帶的班級被稱為「文科班」，在《中國詩詞大會》中嶄露頭角的武亦姝就在這個班級。不可否認，從唐詩宋詞到閱讀寫作，孩子們的能力的確出類拔萃。

講到這裡，張老師還跟我分享了一件教學中的趣事。老師告訴同學們數學一定要「心有千千結」，就是說一道題目做完了之後還要有「結」，要存疑——為什麼要這樣做？有沒有更好的解法？

但當老師說到這句話來源於瓊瑤的書名時，就有學生立即糾正原出處是北宋詞人張先的《千秋歲》。張老師大感意外，在查證後為孩子們的詩詞知識儲備既驚喜又感動。

事實證明，這個班的數學成績也是相當好的。張老師說，數學講究邏輯思維，但這些孩子的思維品質已經遠遠超過這些，邏輯的、形象的、抽象的、直覺的，組合到一起之後他們的思維能力會更強。其中較為特別的是形象思維，文化、藝術的內容會強化形象思維，到了數學領域中就是形象思維下的直覺、靈感、火花。而這些往往是面對一道題目或解決一個問題時第一步需要產出的東西，在這個基礎上，才會發展出「因為……所以……」的推理過程。

除此之外，張老師還告訴我，復旦附中的數學教學與復旦大學數學系保持了一貫性。「我們的數學教學保持儘可能的嚴格性，關注數學的本質，極力避免為了考試而設置的腦筋急轉彎。」

我們知道，不同的學段會對同一內容給出不同層次的定義，這樣設置是為了能夠更貼近學生在每個階段的認知水平。但同時也會造成一些問題，比如學生會困惑為什麼初中老師和高中老師講得不一樣，老師們也叫苦不迭，高中抱怨初中的不嚴謹，大學嫌高中教得太隨意。

為了避免這樣的問題，復旦附中堅持在日常概念教學中沿用大學裡「嚴格的數學」。

比如極限的概念，在高中課本中是描述性語言，即「當一個數列在底數N趨近於無窮的時候會穩定地趨向於一個特殊的值，我們把這個值稱為它的極限。」可是到了大學，學生需要了解的是關於極限的嚴格定義，即魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴格定義（ε-δ和ε-N定義）。

當然，學校這樣安排是希望儘可能讓孩子接觸到真正的、嚴謹的數學。過程中肯定會有學生多多少少對嚴格定義的理解存在模糊不清的情況，但大部分同學是可以理解接受的。因此，上課時描述性的語言老師也會講。「讓尚有困難的學生掌握到他們應該達到的層次，但同時我們不放棄給有能力的孩子提供充分習得真正數學的機會。」

以數學文化觀念引領教學行為

當我問及張老師本人的數學情結，張老師坦言，雖然大學讀的是數學系，但走上數學這條路其實是一個曲折的過程。少年時喜歡藝術，後來又愛上物理，直到在研究生課程班遇到南大鄭毓信教授。在張老師眼裡，他的老師鄭教授既是一位數學家，也是一位哲學家。也因此，張老師開始把這兩個學科對接到一起，並由此對數學中的很多問題有了不一樣的看法，從此就迷上了數學。張老師笑言，這算是一個從外圍回歸的過程。

從威爾·杜蘭特、叔本華、康德到阿基米德、高斯、牛頓、費馬……因著與眾不同的思路轉變，張老師的教育理念也格外不同。

「長期以來，我堅定認為數學文化應滲透進日常教學的方方面面。」對數學最有發言權的數學家們將自己研究的內容浸潤在了自己的人生中，有自己獨到的看法和體驗，他們的想法一定對這個學科有著相當的助益。這個群體形成了自己的生活方式、對待數學的態度、行事風格、研究問題的方法等，形成了一種固有文化。

這是外人很難看到的，所以張老師會在課堂中把這些滲透進來。

比如說函數的概念，書本上只有一句話，但在數學史上至少經歷了四五百年的演化，這是一段非常傳奇也具有理性精神的故事。

首先是十七世紀，萊布尼茨給出了函數的具有幾何特徵的概念；十八世紀，歐拉給出了函數具有代數特徵的概念；後來到了十九世紀，狄利克雷又把歐拉提出的做了進一步的完善，給出了具有關係特徵的概念；二十世紀，在眾多數學工作者的努力下，最終給出了具有集合特徵的函數概念，即「若對集合M的任意元素x，總有集合N中確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x).元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。」

講到這裡，函數概念就不再是課本里一個乾巴巴的定義了。從幾何的、代數的、關係的到集合的，這些數學家為什麼要不停地對這個概念進行重新定義，當學生開始思考這個逐步嚴謹的過程，就能深刻地領會這個概念本身的內涵，以及為了刻畫這一內涵的數學語言是多麼準確與精緻，從而有機會經歷和數學家一樣的思考過程。

那些我們希望能從數學學科中讓孩子積累出的化歸與類比、歸納與演繹、抽象與概括等能力，也都來源於這個過程中的所感所悟，在感悟基礎上的模仿、體驗，再到後來的嘗試、發展，才是真正需要讓學生親歷的。否則數學便只剩技巧。

講到這裡，張老師非常無奈及痛心地表示，現在很多人喜歡把數學結論化、口訣化，程式化，題海戰術盛行，讓學習成為了一件「體力活」。

「這實在是誤人子弟，侮辱了數學。都說數學是思維的體操，這樣還哪裡像體操？還怎麼讓孩子喜歡？」

佈道數學 手藝人生

採訪過程中，張老師反覆強調一件事，叫做「真正的數學」，用真正的數學吸引學生，讓學生習得真正的數學。在張雪明老師本人撰稿的《佈道數學 手藝人生》一文中就曾表達過這一觀點。

那麼，對於那些本身就有點排斥數學的孩子來說又該如何呢？張老師說，他還是會讓這些孩子習得在這個年齡段應該具備的基本能力、基本知識，但並不強求他們一定要不可能而為之，甚至成為所謂的「數學學霸」。

張老師進一步表示，引起學生興趣的一般不是來源於對數學的通俗化、淺薄化，更非為了容易接受而把數學變成一種不太像數學的東西。

「我們現在的課本就有這個傾向，去數學化、去學科化，以為這樣可以迎合一些學有困難的學生的胃口，但這個是最糟糕的，因為最終對學生興趣的改變的關鍵作用依然就是數學本身的魅力，這樣做可能沒有改變學困生的興趣，倒是謀殺了優秀生的熱情！」

因此，張老師說道，他教學中的最高原則就是用學科本身去吸引孩子，「以知怡情」。文科通常是「以情怡知」，以感情來喚醒學生求知的慾望，數學則要倒過來。 對於這個「以知怡情」，張老師用二戰時的一個小故事來向我說明。

二戰中，上戰場的飛機總有損失，一百架飛機中大概最後只有二十架回來。於是有軍事專家研究了倖存下來的飛機後建議在彈孔多的部分加固，然而結果卻是飛回來的更少了。

數學家觀察發現，回來的這些飛機的機身、機翼上都是彈孔，但駕駛艙和油箱的彈孔卻非常少，於是建議在彈孔偏少的部位加固，果然，倖存的飛機變多了。那麼這位數學家的推理思路是怎樣的呢？

理論上講，因為場面的混亂、飛機速度很快，戰場中子彈打向飛機各個部位的概率是一樣的，但駕駛艙和油箱因為僥倖沒有被打到，飛機才得以飛回來。也就是說，這兩個地方若有彈孔，飛機基本上是飛不回來的。這樣，我們就能意識到這兩個地方的重要性，因此更應該加固。

這個推理的過程就是數學思維的體現，故事只是載體，其中的邏輯才是吸引人的理由。所以數學應該用本身去吸引學生，而不是數學的外衣，這就是「以知怡情」。講到這裡，張老師的語氣堅定，「所以我的堅持也是這樣，用堂堂正正的數學去教學生、吸引學生，哪怕是嚴格的、深奧的。」

當然，張老師是反對學生刷題的，即使是高三學生也不贊同。在張老師看來，刷題是「獲得技能，失去靈感；成就經驗，失去智慧」。

數學的功夫在於研究問題，如果一個孩子用了一天的時間去揣摩一個問題，哪怕最後沒有研究出來，對他的影響也是巨大的。有的孩子可能會覺得花兩小時完成了作業很開心，另一個孩子花了兩小時研究一道題沒研究出來覺得浪費時間、感到懊惱，其實我們需要去反思一下到底哪個孩子更值得開心？

學習時間是否有意義不以最終是否解出題目為標誌，而是在這個時間內大腦是否一直處於運轉的狀態。如果為了解決一個問題而調動起自己的多元思維參與，那不就是在完成一個思維的體操嗎？高考也是一樣，基礎的題目大家都會，而難的題目不是刷題就能應對的，這種時候有沒有獨立思考的能力就會體現出差別來。

「做不出的題目終歸是多數，所以我會鼓勵他們去探索。」張老師建議，學生以自己的獨立思考、探究為最高訴求，這樣對自己的大腦才能保有主權而不會成為「別人的容器」。

採訪終了，我才明白張雪明老師被譽為「像教語文一樣的數學老師」並非僅僅因為其儒雅的氣質與跨學科專業的涉獵，更因為老師始終堅持數學文化的貫徹與傳播。講到數學的「真善美」，老師的臉上是無限的神往和篤定，正如老師自己所說「作為一名數學老師，我有一份責任感，我想去傳播真正的數學，傳播這個偉大學科的偉大精神。」

文| 張楠 編輯| 井上

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