「概念」的形式危機

幾日前，筆者在微博上刷到了今日很火的「李永樂老師」的科普視頻頗感興趣。視頻很簡短，通過板書的方式（語言配合圖示更容易理解）介紹了很多較為熱點的現象的原理，例如介紹博弈論、三次數學危機、晶元的製作與原理、天為什麼是藍的等等。內容不僅涉及的面很廣泛，而且介紹很有條理並且直擊要點，可謂是現在網路傳播時代相當成功的一種「文本」。當然本文並非要搬運李老師的視頻，只是針對其中我很感興趣的內容做簡單介紹，並提出一些思考——即悖論的根源或許來自於提出「形式合理」的概念時合法性的缺失。

1 羅素悖論

在李老師講述的「第三次數學危機」的視頻中提出了羅素用來詰難康托爾集合概念的一個悖論問題：

一個理髮師如果表示「我給且僅給自己不刮鬍子的人刮鬍子」，那他是否應該給自己刮鬍子？

很容易地，我們往往會默認它的表述，並迅速開始分類討論起來：

1. 如果理髮師給自己刮鬍子，那麼在這個基礎上，他根據自己的言論將不給所謂「給自己刮鬍子」的自己刮鬍子，那這和他刮鬍子的事實矛盾。

2. 如果理髮師不給自己刮鬍子，他根據自己的言論將給「不給自己刮鬍子」的自己刮鬍子，那這和他不刮鬍子的習慣又將矛盾。

不難發現，這是一個「怎麼說都不對」的問題。在開始分類討論前提的時候，順著言論推斷，總會又和假設的前提矛盾。這就是典型的悖論現象。

我們很清楚的是，當我們根據假設而推論的邏輯沒有問題，那問題自然出在表述這個問題時定義的漏洞，或者就是這個Flag本身就是個偽命題。於是我們很自然地會想此類問題：這位理髮師在提出「我給且僅給自己不刮鬍子的人刮鬍子」問題的時候，理髮師刮鬍子的對象中是否包含理髮師自己？

因為如果我們修正假定理髮師是女性（沒有鬍子），或者理髮師是上帝（並不是人），即加上了限定條件「除了我以外」的對象，那這個悖論的討論條件就不再存在。

2 命題的成立？

那我們就把它當做命題來進行推論：如果理髮師「我給且僅給自己不刮鬍子的人刮鬍子」的flag想要成立，那麼他刮的對象就是包括他自己在內自己不刮鬍子的人，其他人他不刮——那麼，我們按照常理添加一個解釋「一個人給不給自己刮鬍子的判斷源於長期性的行為」，即「自己刮鬍子」本身就隱含的含義是「自己刮過且將一直自己刮，不需要求助理髮師」。於是分析如下：

1. 如果他此前從來不自己刮鬍子並將一直不自己刮，將被分為此類，為了達成flag，他就要以理髮師身份給自己刮鬍子，但矛盾的是「給且僅給」，他給自己刮完鬍子後，他變成了給自己刮過鬍子的人，這打破了他作為「不給自己刮鬍子的人」的身份。

2. 如果他過去自己刮過鬍子並且一直自己給自己刮，那他不是能以自己理髮師身份刮鬍子的對象，那麼從此之後他將不給自己刮鬍子，這同樣打破了他作為「給自己刮鬍子的人」的身份。

不難理解，理髮師的flag的實現無論如何都需要改變他作為被刮鬍子對象特徵的前提。因此，在不更改flag條件的基礎上，不管哪種情況下flag都是不可能實現的。這就證明了這個問題被假設為前提「並不合法」。

總結綜上其實都源於一個過程：我們往往能通過「形式」表達出某些含義（被大部分人理解的），但含義本身並不一定有意義。因此，不可能的事件的形式化表達是沒有意義的，建構在沒有意義的內容之上的推論只能自我矛盾。最後舉個直接的例子，如果1=2，那麼1+1=2，2+2=4，因此2=4。我們就會很快發現，假設的等式在意義上是無法理解的，哪怕如果認可這種形式的定義，所有的1和2的意義都將產生變化，因此後面基於常識的推論都將沒有意義。

3 「概念」的危機

接下來進一步地，我們用等價的抽象數學關係的方式來表達類似的情況——如果每個人都是一個集合，那麼集合中的元素是這個人刮臉的對象，如果一個人的集合是，那他的集合的元素屬於自身，這個人自己給自己刮臉。理髮師宣稱的是，他集合中的元素，是那些不屬於自身的人，即他刮臉的對象是不給自己刮臉的人，那理髮師屬於他自己的集合嗎？因此就變成如下：

那麼，這個問題中的假設是：集合A是表示不屬於A集合的集合。這個概念本身是「合法」的嗎？這是一個集合嗎？而後第三次數學危機被公理化集合論而暫時化解，但其實卻沒有觸及本質，只是增加了一些限定，即將集合論的運用範疇縮小，排除了悖論中的「形式表達」的合法性，例如ZF公理系統中利用分離公理模式以及NBG系統中類的概念將其排除出集合的概念。這些公理系統的出現恰恰說明了在樸素集合論的看似「封閉」的體系中這個概念是合法但用邏輯無法解釋其意義的。

最後，一點點總結：

集合論的這個矛盾同樣來自於它似乎「與生俱來」的客觀屬性：我們在定義集合，或者說定義任何普遍意義的客體的時候，往往不會質疑我們憑什麼能定義它們？它們的定義是隨意的嗎？

答案或許是否定的，要作為普遍邏輯的基礎——絕對的真理必須是封閉的，我們甚至還需要首先至少證明我們提出的「概念」在期望的封閉系統中是有意義的，因為我們並不能保證我們的任何「概念」就能夠對應於客觀實在，尤其是當這個概念的定義過程中出現了需要「邏輯關係」判斷的時候。

參考資料信息：大部分來自於「李永樂老師」視頻中的一些分享，以及收集於百度、維基百科上一些專業詞條的解釋。

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