我所重新研究的布豐投針試驗

布豐投針試驗是一個著名求π值的試驗，然而其背後的原因卻鮮有人知曉。今天我們就要讓布豐實驗中針線相交的概率不再只是一個數字，而是一場刺激的數學競鬥。

如下所示，布豐投針試驗的過程十分簡單，就是在一張理想的，畫滿無數條等距平行線的紙上隨機投下一根根細針，讓針自由倒下，之後統計針和平行線相交的頻率，當投針次數越來越多時，將此頻率取倒數，就可以得到一個有趣的數值。

在平行線間距為針長兩倍時，這個數值為π，也就是我們最熟知的版本。

現在，我們將分析更為普遍的情況下，布豐投針試驗中針線相交的概率，並以此探明它和圓周率π之間神秘莫測的關係。為了方便起見，我們按照布豐投針試驗的初步邏輯，假設針長為l，平行線間距為a。

在整個實驗過程中，因為平行線是無限的，所以對於每一根針，無論最後針落在哪裡，在倒下之前都必定落在兩相鄰平行線間，當它倒下以後，若相交也只會與這兩條線中的一條相交，否則就不與平行線相交，因此我們就可以把問題簡化為研究兩條相鄰平行線間的針線相交問題，這樣的簡化可以囊括一切針線相交時的情形，它並不會改變我們所求的概率，卻可以使我們面臨的複雜問題變得一目了然。

在本次實驗中，我們不討論橫向距離。因為平行線無限長，所以對於針的初始落點，只有其縱向距離有討論價值，而橫向距離並無影響。

當我們了解了上述內容後，我們令針隨意落在一點，與兩平行線中更低的一條的距離為X，之後隨機倒向一角度θ，為方便討論，我們以平行線右向為極軸，令針的角度θ在-π與π之間。我們對之前的實驗結果進行分析，此時針線相交的情況便可以歸納為以下兩者之一。

當情況如上圖所示（我們的實驗結論），也就是θ在0與π之間（針向「上」倒）時，如果此時落點太往下，使a-x大於l*|sinθ|了，針就沒有辦法和更高的線相交了，而如果要使針和更低的線相交，如下圖所示，我們就需要把落點不斷下移才行。

可是別忘了此時的情況是針往上倒，所以說如果落點要滿足大假設，落在兩平行線間，那只有a-x=0才有可能，但是很明顯如此具體的落法的概率是零。因此若要相交，則必有0小於等於a-X小於等於l*lsinθl，也就是a-l.sinθl 小於等於X小於等於a。

當情況如上圖所示，也就是θ在-π與0之間（針向「下」倒）時，可知此時如果落點太往上了，與之前相似，它無法和更低的線相交，而如果要和更高的線相交，如下圖所示，我們就要不斷把落點上移。

但是同樣的，此時落點位於頂部平行線的上方，這是不滿足大假設的。所以如果要滿足大假設，則a-x必須等於0，這也是零概率的。故同理，此時有X小於等於l*lsinθl,又因為X大於等於0才能滿足大假設，故此時有0小於等於X小於等於l*lsinθl。

此時，作θ-X圖像（如上圖），我們把x與θ的所有可能取值繪出以後可以得到淺橙色的矩形，而如果我們把之前的使針線相交的不等式也在坐標系中繪出，我們可以得到藍色的陰影部分，可知藍色陰影部分為使針與線相交的所有（θ，X）值。而淺橙色部分為所有可能的（θ，X）值。

那麼，當我們有了這些以後，我們如何計算概率呢？我們知道在討論從表示全體可能值的面積中取出某一部分的概率，可以通過這一部分的面積和表示全體可能值的面積比得到，即：P=S陰/S全。

又因為S陰等於

也等於

將絕對值符號打開以後，利用牛頓-萊布尼茨定理則不難發現，積分值為l*(cos(0)-cos(-π)+(-cos(π))-(-cos(0)))=l*(1-(-1)+(-(-1))-(-1))=l*(1+1+1+1)=4*l，而s全=2π*a，因此p=4l/(2πa)=2l/(aπ)，我們就得到了布豐投針試驗的理想概率。

擴展

既然我們做出了這樣的結論，那麼它是否適用於一切l和a呢？答案是否定的，因為一旦我們取一根特別長的針，使l大於a，比如說l=100a，此時如果我們貿然使用結論，將會得到概率為200/π，約為6366.2%，這很明顯是不可能的，那麼究竟是哪裡出了錯呢？如下圖所示，應該是我們用來表示滿足條件的(x,θ)區域的面積，也就是積分本身出現了謬誤。

原來是因為l大於等於a時，我們最開始使用的積分表示的的陰影部分有一部分超出有效界限了，故積分已不能正確表達使針線可相交的合理（θ，X）區域，正確形狀應如下圖所示。

此時的藍色陰影部分面積才是正確的滿足條件的（θ，X）區域，那麼我們如何構造積分來計算這個面積呢，我們不難發現，兩塊形狀其實是一模一樣的，因此我們只需要通過積分求出其中一塊的面積，另一塊的面積也自然迎刃而解。為了方便起見，我們討論左邊的面積。

很明顯它其實是一個分段函數，在-π到l*lsinθl=a的較小解和l*lsinθl=a的較大解到0這兩個區間上，它等於l*|sinθ|，但在兩個解之間的區間上，它則單純等於a，從而我們需要先求出l*lsinθl=a在-π與0之間的兩個解，才好繼續處理問題。利用反三角函數，結合兩解均在-π與0之間的直觀條件，我們可以得到較小解應該是arcsin(a/l)-π，而較大解則是-arcsin(a/l)。

因此，去絕對值後，我們的積分就是-l*sinθ在-π到arcsin(a/l)-π上的積分，加上a在arcsin(a/l)-π到-arcsin(a/l)上的積分，再加上-l*sinθ在-arcsin(a/l)到0上的積分，算出來以後就是左邊的陰影部分面積了。繼續應用牛頓-萊布尼茨定理，可以得到值應該為

利用幾何法（結合上圖），不難得到cos(arcsin(x))=sqrt(1-x^2)，將x代入我們的情況（令x=a/l），也就可以得到其反正弦函數的餘弦為，結合三角函數的性質（例如cos(-x)=cos(x)，cos(π-x)=-cos(x)之類的），我們不難發現，所求的積分值化簡後即為

將它乘以2（表示左邊面積與右邊面積之和）後除以2a*π，即可得到正確的概率p。

此時，p=

比較它與l小於a時的形式，我們可以發現這兩項在l小於a時均沒有意義，前者因為那時會使根號下出現負數，而後者則因為反正弦函數的定義域不能超過1，同時我們可以發現第一項即為l小於a時的概率乘以(1-aqrt(1-a^2/l^2)，這是由於區域中這部分面積仍與l*|sin(θ)|有關所造成的。如果我們研究l=a時的臨界情況，我們會發現此時第二項為0，而第一項則剛好仍等於2l/(aπ)，因此這兩個表達式之間的過渡也是我們所知的了。

關於布豐投針試驗，我們還可以進行一些有趣的改動，例如周期性改變平行線間距，或者改變投下物體的形狀等，但是最後的相交概率，仍可以用本淺析的思想進行解決！

士，高三狗，一名專註於深刻而易懂的科普作品的業餘作者，喜歡深邃而沉默的大海，還有無垠而幻美的深空。

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