如果不是被限制，這些猜想就會成為著名的公式定理！

證明有風險

猜想需謹慎

某中國大學生髮現的反例

用f(n)表示可以用1和任意多個加號和乘號括弧表示出n所用1的最小的個數

如4=(1+1) ×(1+1)，所以f(4)≤4，進一步可以知道f(4)=4進一步再來求出：

可見f(n)的增長很慢……

是否有f(p)=f(p-1)+1，對p為某些數，如素數？ 不難驗證對p=2,3,5,7,11均成立，事實上，對於10萬以內的素數其均成立 。

猜想：對p為素數， f(p)=f(p-1)+1

素數生成公式(某常見編程題)

1772 年，Euler 曾經發現，當 n 是正整數時，n?2;+n+41似乎總是素數。事實上，n 從 1 一直取到 39，算出來的結果分別是：

43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

猜想：n 是正整數時，

均是素數

反例：n = 40 時，為合數

註：有沒有可能有一個整係數多項式P(n)，使得n為正整數時，P(n)均為素數呢？

先思考一下……

例子：如果P(n)為常值多項式，那麼P就有可能滿足要求，如P(n)=3那麼有沒有非平凡的例子呢，答案是沒有，素數的分布結構哪有那麼簡單。

證：假設這樣的一個多項式P(n)存在。那麼P(1)將是一個素數p ；

由於P整係數，故P(1+kp)≡P(1)(modp)，對k為正整數；

所以 P(1+kp)是p的倍數，又是素數，只能是p，所以P(x)=p有無窮多個根，與代數基本定理矛盾！

對於Euler所見的那種多項式也是很稀有的，事實上，若整係數多項式對n=0，1，……，k-2均為素數，其中k不小於2（取n=0,可以知道k必須是素數）

其成立等價於這個二次函數的判別式的絕對值為Heegner number

但是Heegner number 由Stark–Heegner theorem 有且僅有9個：1，2，37，11，19，43，67，163

所以k只能取2，3，5，11，17，41

也就是說只有 n2+n+k，k=2，3，5，11，17，41才能對n=0，1，……，k-2均取值為素數。

Mertens conjecture

定義域為自然數的莫比烏斯函數μ定義為μ(1) = 1

μ(n) = 1 if n 不含平方因子且含偶數個素數因子

μ(n) = ?1 if n 不含平方因子且含奇數個素數因子

μ(n) = 0 if n 含質因子的次數超過2次，即含平方因子(如2^2，3^4，5^2等)

舉個例子，其部分取值如下：

μ為什麼要這麼定義的原因是為了讓函數1有一個卷積逆，這裡的卷積定義與積分定義的卷積不同，由此可導出莫比烏斯反演定理。

定義

稱為 Mertens函數

1897年Mertens猜想：

對所有＞1的自然數n有

如果令

那麼猜想就是說m(n)的絕對值不超過1

這個猜想不難驗證在n在n小於10億內的範圍，這個猜想還是成立的！

於是大家對這個猜想還是抱有很大信心的……

反例：

1985年 Andrew Odlyzko 與 Herman te Riele共同推翻了這個猜想

事實上他們證明了

1987年Pintz證明了第一個反例對應的n出現在之前

(Kotnik和Te Riele在2006年把上界降到了)

2004年 Kotnik和Van de Lune 證明了第一個反例對應的n出現在10^14之後

不過目前具體的能給出最大的m(n)為n=7766842813時，此時 M(7766842813) = 50286

註：

可能有人會有疑問，你給不出具體的反例算什麼,哪裡推翻了猜想啊……

有些時候，我們做估計往往是對於整體做的估計，比如證明著名的Bertrand假設：

（見數學天書中的證明,Page 7）

一個關鍵的估計不等式在於：

反證這樣的素數不存在，會吃掉最後一個乘積，而第一，二個乘積可以有很好的上界：

那麼

而這個不等式對於較大的n是不成立的，於是導出了矛盾！

(如n>4000，再對n

證明需要依賴一些整體性的計數類的結果，或者利用篩法估計

也就是我們在證明過程中可能利用整體的信息而丟掉了個體的信息，所以我們無法從正確的證明中獲得反例，但這絕對不意味著沒有反例或者證明錯誤。

再舉一個例子，就是Lebesgue和Riemman積分，都忽略了被積函數在單點的信息，而提取出整體的信息

比如

，那麼我一定可以知道有一點x在[0,1]之間使得，

但你要問我是哪個點，我可以說無可奉告

Prime race(素數競賽)

如果取出不大於n的所有不等於3的素數，按照它們除以3的餘數來分成兩組，

一組叫做Team 1，1組的素數除以3的餘數是1，如7,13

一組叫做Team 2，2組的素數除以3的餘數是2，如2,5,11

如下圖：

我們可以感覺到當n固定時，似乎1組的素數總比2組少

如n=3時，只有2組有一個成員 2

如n=8時，2組成員有兩個，比1組多

如n=60時

Team1：7，13，31，37，43，只有5個成員

Team2：2，5，11，17，23，29，41，47，53，59，有10個成員

當n不斷增加的時候，兩組分別的素數個數的增長就和跑步比賽一樣，不斷增加，不過似乎總有1組的素數比2組的素數少，就好比1總是落在2後面一樣。

猜想：

對n為正整數，1組的素數總比2組少

下面有一張表，表明這個猜想對於較小的數字的正確性

最小的一個反例：n=608，981，813，029 時，1組成員比2組成員多，1組超過了2組

由1976年由Bays 與 Hudson發現。

(真乃：功夫不負有心人……)

註：

這方面的理論基礎源於John Edensor Littlewood(沒錯，又是他)

John Edensor Littlewood 1914發表一個對這方面問題的很好的估計的paper

最後有一個非常好的討論和研究見

http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/granville1.pdf

組合幾何中的反例

Borsuk"s conjecture

一直討論數論問題會讓人有些疲憊。來看這麼一個組合幾何問題：

Karol Borsuk(就是那個證明了博蘇克-烏拉姆定理的數學家)在1932年證明了：

任何一個二維歐氏空間中的球體(二維球即圓盤)可以被剖分成3部分，每一部分的直徑嚴格小於球的直徑。

一般地，d維歐氏空間中的球體可以被剖分成d+1個部分,每一部分的直徑嚴格小於球的直徑，對d為正整數

於是他猜想：對n為正整數，n維歐氏空間中的每一個有界集合E，是否均可以劃分成n+1個子集，每一個子集的直徑均嚴格小於E的直徑？

已經可以證明n=2，3時是成立的

對所有的n，E為光滑凸集時，定理均成立(利用博蘇克-烏拉姆定理)

而對於高維情形，似乎無從下手。

反例：

1993 年Gil Kalai 和 Jeff Kahn找到n= 1325時，命題不成立，對n＞2014命題也不成立

註：

博蘇克-烏拉姆定理：

分析學上的反例

1

定義，x=0時取值為1

不難驗證sinc(x)在R上無窮次可導，圖像如下方紅線：

有公式：

對於N=0,1,2,3，……，7均成立

事實上對於N≤40248公式均成立

但N＞40248左邊嚴格大於右邊，結論不成立

註：

至於為什麼，請見http://arxiv.org/pdf/1105.3943v2.pdf

其講述了如何運用這類方法構造恆等式對n=1,……N成立，但對n>N時不成立。

2

來自《Inside Interesting Integrals》 by Paul J. Nahin.

利用簡單的Fourier變換或者熟知的

容易證明下面公式的第一個(第2,3個事實上也是對的)：

可能會有

猜想：

，對n為自然數。

繼續，對n=1,2,3,4,…,10檢驗都成立，甚至n=30也是對的：

反例：

n=31時不成立

數值分析給出：

而

註：

以前在學習積分學時，就可以注意到

的組合在0到無窮的積分會導致各種奇怪的現象…

如可以作為微積分習題的兩題：

就是說某些參數的局部改變不會改變積分值，但是某些參數值附近稍微的改變會導致積分值突變。

這裡有一篇關於這類積分導致某些奇異的現象的研究，是2014年的文章：

http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf

好了，講了這麼多反例，大家不要看了此貼就感覺產生了猜想一定會錯的感覺，也不要產生猜想的提出缺乏邏輯思考的想法。猜想的正確與否還是要按照數學證明的基本法則來驗證，不能妄下結論。

歷史上有很多對於小數成立的猜想，後面也被證明是正確的，如費馬大定理這種民科愛好品。猜想的提出，有時能推動一個數學領域的發展，這方面看，猜想即使是錯的，也是有一定意義的。

所以結合這兩點，猜想的大反例只是告訴我們不要依賴已知情況和直覺，但絕不是要我們放棄具體例子，直接上理論工具開始計算，很多已知情況其實是可以提供一些信息的，我們可以從中得到啟發，雖然不是證明，但可以提供一些思路。

用一個簡單的猜想作為結尾：

前n個自然數的倒數和記為

當n足夠大的時候，這個和會越來越大，最後接近無窮大(除非你相信某居士…)

我們來看

似乎看起來這個和除了1之外不能等於其他的正整數

不妨驗證一下n=4,5,6,7,8的情況(大於8的分母還是過於複雜不宜計算)

猜想：

若n為大於1的正整數，那麼

一定不是整數

已經用計算機驗證了1000到100000的數是成立的，直觀上來看這個級數和越長越慢，似乎越來越難變成一個整數。

那麼這個猜想究竟成立嗎？

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