易旋線和易旋渦，大自然的神奇曲線，隱藏的黃金比例

知識 05-01

普遍存在於自然界當中，其行動軌跡系統全息特徵具有路徑最短、效率最高和損耗最少，至今沒有通式可以表示。但是有代表性的螺線可以作出說明。我們稱之為易旋線。

螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：

ρ=αe^(kφ)

其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。

e自然常數，是數學科的一種法則。約為2.71828。

對數螺線的臂的距離以幾何級數遞增。

設 L 為穿過原點的任意直線，則 L 與對數螺線的相交的角永遠相等（故又名等角螺線），而此值為 cot-1 ln b。

設 C 為以原點為圓心的任意圓，則 C 與對數螺線的相交的角永遠相等，而此值為 tan-1 ln b，名為「傾斜度」

對數螺線是自我相似的；這即是說，對數螺線經放大後可與原圖完全相同。

對數螺線的漸屈線和垂足線都是對數螺線。

從原點到對數螺線的任意點上的長度有限，但由那點出發沿對數螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由 Torricelli 發現的。

在複平面上定義一個複數 z = a + bi，其中 a, b ≠ 0，那麼連結 z、z^2、z^3…… 的曲線就是一條對數螺線。

若 L 是複平面中的一條直線且不平行於實數或虛數軸，那麼指數函數 e^z 會將這些直線映像到以 0 為中心的對數螺線。

自然界有很多易旋線的例子，比如海螺，貝殼。

同時，我們還可以用在建築設計上。

我們可以從另外一個角度出發來推導易旋線。

就是根據《道德經》中，「道生一，一生二，二生三，三生萬物」這段話為依據展開推導。

「道」即自然，以0表示，也即「無極」；道生一，以1表示，是「無極生太極」；一生二，以2表示，是「太極生兩儀」即陰陽；二生三，以3表示，是陰陽生天、地、人三才；三生萬物……，這一路徑以數理表示：0，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……。

即0+1=1，1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，……。自然數的自行「五次」演變為一周期，就能有11倍的擴充；又1五次乘方為1，2五次乘方為32，3五次乘方為243，4五次乘方為1024，5五次乘方為3125，6五次乘方為7776，7五次乘方為16807，8五次乘方為32768，9五次乘方為59409，……。

自然數字的自行「五次」乘方，擴充後的個位數字必定還原；又3/5=0.60，5/3=1.67，5/8=0.625，8/5=1.6…，其得數為擴大（十）和縮小（一）的「自然率」。這個自然率就是黃金比例的倒數：1.618，黃金比例約為： 0.618:1；

數字的值越大，數之間比例的「自然率」越精確！這裡既吻合了「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」的易理，又引證了「陰陽五行」的道理，同時也帶出了「自然率」這一沉睡了幾千年極少應用的概念。另一路徑是「太極生兩儀」，即2的一次乘方；兩儀生四象，即2的二次乘方；四象生八卦，即2的三次乘方；……八卦生六十四卦，即2的六次乘方。

地球從自轉，會產生一對易旋線。