數學中最神秘、最令人敬畏的研究對象之一

Julia 集和 Mandelbrot 集，這可以說是數學中最神秘、最令人敬畏的研究對象之一。我查閱了一些其他的資料，然後寫下這篇長文，與大家一同分享。

還是讓我們先來簡單複習一下複數吧。由於承認「負數也能開平方」將會帶來很多幽雅和便利的結論，因此我們發明了虛數，用 i 來表示 -1 的平方根（即虛數單位），並把實數擴展為複數（即一切形如 a + b i 的數）。

正如實數可以用數軸上的點來表示一樣，複數可以用平面直角坐標繫上的點來表示。令 x 軸表示複數的實數部分，令 y 軸表示複數的虛數部分，則 a + b i 就對應了平面上的點 (a, b) 。我們把這個平面直角坐標系叫做「複平面」。

複數與複數之間不但可以相加相減，還可以相乘相除。(a + b i) + (c + d i) 就等於 (a + c) + (b + d) i ，而 (a + b i) (c + d i) 則等於 (ac – bd) + (bc + ad) i 。需要注意的是，我們不能討論一個複數乘以另一個複數後是變大了還是變小了，因為複數根本沒有大小之分。

如果真的要比較它們的大小，我們可以比較它們的模。複數 a + b i 的模就是 a2+ b2的平方根，也就是它到複平面原點的距離。如果我們用不同的顏色來表示不同大小的模，那麼整個複平面大致就是這樣：

如果我們用 |z| 來表示複數 z 的模，那麼上面這個圖也就是函數 f(z) = |z| 的「等高線地圖」。複數的模有一個重要的性質，大家可以自行驗證：乘積的模等於模的乘積，即 |a·b| = |a|·|b| 。現在，我們對複平面上的所有點都進行平方，畫出 f(z) = |z2| 的等高線地圖：

可以看到，這一操作讓模的變化更劇烈了，等高線變得更加密集了。外面浩瀚的藍色空間，就對應著那些模已經相當大了的複數。

有趣的事情開始了。如果對上圖中的每個點再加上某個數，比如 0.3 ，那麼整個圖會怎樣變化呢？容易想到，對於模相同的複數來說，給實數部分加上 0.3 ，這對實數部分本來就較大的數影響會更大一些。

因此，上圖將會變得更扁，整個圖形會在水平方向上壓縮。這也就是 f(z) = |z2+ 0.3| 的等高線地形圖：

接下來，我們再對所得的圖形進行平方，繼續加劇模的變化：

然後，再給每個點的實數部分加上 0.3 ，於是得到 f(z) = |(z2+ 0.3)2+ 0.3| 的圖像：

再平方：

再加上 0.3 ，此時圖形已經開始變得有意思起來了：

再平方一次：

再加上 0.3 ：

這也就是函數 f(z) = |(((z2+ 0.3)2+ 0.3)2+ 0.3)2+ 0.3| 的圖像，它反映了對複平面上的各個複數「平方再加 0.3 」迭代 4 次後模的大小情況。隨著迭代次數的增加，整個圖形將會變得越來越複雜。下圖顯示的就是迭代 12 次後的結果，可以看見整個圖形已經具有了分形圖形的複雜程度（圖形的「黑邊」其實是密集的等高線）：

上圖中，大部分區域內的數都變得越來越大，直達無窮。而原點附近這個四葉草形區域內的數，至少目前還不算太大。

這給出了上圖的另外一種解讀方法：隨著迭代次數的增加，複平面上各個點的模的發散速度。有沒有什麼複數，隨著迭代次數的增加，最終並不會趨於無窮呢？當然有。

比如方程 z2+ 0.3 = z 的兩個複數解，它是這個迭代下的不動點，每次迭代後都維持原來的值，自然不會趨於無窮。我們把所有這種迭代後不會趨於無窮的點所組成的集合就叫做 Julia 集，它是以法國數學家 Gaston Julia 命名的。

只可惜， z z2+ 0.3 的 Julia 集是由一些孤點組成的，我們無法把它畫出來。上圖中的四葉草形區域也只是那些發散比較慢的點，但再多迭代幾次，最終也會趨於無窮。

是否存在適當的常數 c ，使得迭代 z z2+ c 的 Julia 集能夠形成一塊連通的區域呢？答案是肯定的。下圖是對複平面上的點執行 12 次 z z2– 1 迭代後的結果，中間這些紫色和黃色的點已經穩定下來，不會發散了，它們構成了一塊連通的 Julia 集：

常數 c 還可以是複數。下圖則是迭代過程 z z2+ (0.2 + 0.5 i) 迭代 12 次的結果，其中也有一些模非常小的點，它們不會發散，構成了連通的 Julia 集：

難以置信的是，每取一個不同的 c ，我們都能得到一個不同的 Julia 集，這些 Julia 集大小不同，形狀各異，可謂是百花齊放，各有各的美麗。在我的那篇舊文章里，可以找到更多的 Julia 集圖片。

在 Julia 集相關領域中，有一個非常漂亮而且非常重要的定理叫做 fundamental dichotomy theorem ，它告訴我們，一個 Julia 集要麼是完全連通的，任意兩點間都有一條通路；要麼是完全不連通的，整個圖形全是一個個孤立的點。

隨著常數 c 的變化，對應的 Julia 集也會連續地發生變化。我們比較關心的一個問題就是，哪些 c 值會讓對應的 Julia 集形成一個連通的區域？為了回答這個問題，讓我們來看看 Julia 集的另外一種計算方法。

在研究 Julia 集時，我們通常假設 c 的模總是小於 2 的。注意到，對任意一個滿足 |z| > 2 的複數 z ，都有 |z2| = |z|2> 2·|z| ，也就是說，對這樣的 z 進行平方後，它的模至少都會變成原來的兩倍。

即使常數 c 的方向和 z2的方向完全相反，也不足以把 z2的模抵消到原來的水平。因此，在迭代運算過程中，一旦某一步結果的模大於 2 了，可以斷定它必將發散到無窮。

因此，我們有了 Julia 集合的另一個定義。 z z2+ c 對應的 Julia 集，就是無限迭代下去後模仍然不超過 2 的點。於是，我們立即有了 Julia 集的另一種生成方法。

我們可以從複平面上模不超過 2 的所有點，也就是以原點為中心半徑為 2 的圓盤出發，看看哪些點的平方加 c 後會落在這個圓盤內，進而考察哪些點平方加 c 再平方加 c 後將會落在這個圓盤內，如此反向迭代，不斷找出原象，反推出符合要求的點集。

我們先用 c = -1 來試驗一下。

這就是複平面上模小於 2 的所有複數所組成的點集，即一個半徑為 2 的圓盤：

我們把上圖右移一個單位，得到所有加上 -1 後模小於 2 的點：

我們再找出上圖區域中的每個點的平方根（別忘了，每個數都有兩個平方根，因此每個點都有兩個原象），於是得到所有平方再加 -1 後模仍然小於 2 的點。

由於開平方是一個連續函數，而每個點都有一正一負兩個平方根，因此整個圖像本該變為兩個關於原點對稱的連通區域。不過，這兩個連通區域有所重合，它們將會並在一起成為一整塊連通區域。

為了看出這一點，只需要注意到，0 是一個非常特殊的數，它的原象只有一個，就是它本身。由於上圖中的區域內包含零點，因此它的兩組原象也都包含原點，這就表明兩個區域是有重合的，結果就像下圖這樣：

再將上圖右移一個單位：

再作出平方根：

再次右移：

再次找平方根，由於零點始終沒有跑出去，因此圖像始終是一整塊連通區域：

再次右移：

再次找平方根，圖像仍然連通：

可以看到，此時得到的點集已經非常接近之前給出的 z z2– 1 的 Julia 集了。下圖則是反推 12 次後的結果，它基本上可以看作是 z z2– 1 的 Julia 集了：

讓我們再來看一個無法構成連通區域的 Julia 集的例子。取 c = – 1 – 0.9 i ，讓我們來看看逆推的過程。還是先畫出半徑為 2 的圓盤：

現在，找出所有加上 – 1 – 0.9 i 後會落進該圓盤的點，實際上相當於把圓盤右移 1 個單位，再上移 0.9 個單位：

尋找上圖中的點的平方根：

再平移：

再找平方根：

再次平移：

這裡發生了一個非常值得注意的現象：原點現在跑到了灰色區域的外邊。也就是說，這個點在若干次迭代之後不能落入那個半徑為 2 的圓盤裡，表明這個點的模最終將會發散。換句話說， 0 不屬於 c = – 1 – 0.9 i 時的 Julia 集。

由於 0 的原象還是 0 ，因此當我們考察哪些點的平方會落入上圖中的區域時，0 繼續排除在外。此時注意，灰色區域內不包含原點，說明這個圖形不見得仍然連通了。

事實上，我們可以證明，一個不包含原點的區域，開平方後必然會得到兩塊不連通的區域。

為了證明這一點，我們在上圖中畫一條過原點的迴路，把整個圖形圍起來。對這個迴路上的所有點開平方後，將會得到一個過原點的、關於原點對稱的封閉曲線。容易想到，這條閉曲線一定是一個 8 字形。而上圖灰色區域的兩個原象，則只能分居在 8 字形的兩個圓圈中：

我們把上圖再次平移：

再取平方根。注意到，上圖中的兩塊區域都不含零點，因此由前面的結論，每個區域都將會再分成兩個更小的連通區域，從而使得整個圖中出現四個連通塊：

如此逆推下去，連通塊的數量將會越來越多，它們的總面積則會越來越小，最後就只剩下一些孤立的點了，就如同我們最早所說的 z z2+ 0.3 的 Julia 集一樣。

只不過，要想看出 z z2+ 0.3 所對應的 Julia 集並不連通，我們需要的逆推次數更多一些。下圖中可以看到，直到第 12 次逆推，零點仍然還在候選區域中；到了第 13 次逆推，才把零點排除在 Julia 集之外。此後，圖形很快便收縮為了一堆離散的點。

也就是說，為了判斷 z z2+ c 的 Julia 集是否連通，我們只需要測試一下，看對初始值 0 迭代無窮多次，所得的模是否會趨於無窮大。我們自然希望知道，能夠使 Julia 集連通的常數值 c 在複平面上組成了一個什麼樣的圖形。

為此，我們只需要固定初始值為 0 ，把複平面上不同的點當作 c ，畫出迭代過程中模的發散速度（和最開始製作 Julia 集一樣，我們用不同的顏色來表示不同的發散速度）：

神奇的是，這本身竟然又是一個漂亮的分形圖形！數學家 Beno?t B. Mandelbrot 是最早對其進行系統研究的人之一，因此我們就把所有不會讓零點發散的複數 c 組成的集合叫做 Mandelbrot 集。

更多 Mandelbrot 集細節的驚人圖片，也可以參見之前的那篇文章。整個 Mandelbrot 集可以包含於一個以原點為圓心，半徑為 2 的圓里。這也就是我們在考慮 Julia 集時往往假設常數 c 的模小於 2 的原因。

生成 Mandelbrot 集的演算法和生成 Julia 集的演算法完全一樣，只是這一次我們固定的是初始值，而把 c 當作了變數。

Mandelbrot 集內的每一個點就對應了一個連通的 Julia 集，Mandelbrot 集合外的點則對應了不連通的 Julia 集，並且很容易想到，越靠近 Mandelbrot 集的邊界，對應的 Julia 集形狀就越詭異。

因此， Mandelbrot 集還有另外一種解讀方法：它就是 Julia 集的縮略圖！完全沒有比喻的意思，它真的就是 Julia 集的縮略圖：

因此， Mandelbrot 集可以說是所有無窮多個 Julia 集的一個高度總結。究其原因，還是因為 Julia 集的零點太重要了。

Julia 集的零點的迭代結果，很大程度上決定了 Julia 集的形狀，就好像這個零點「知道」 Julia 集是什麼樣子似的。而 Mandelbrot 集則把所有的零點信息都匯聚在了一起，自然高度歸納出了所有的 Julia 集。

讓我們總結一下 Julia 集和 Mandelbrot 集的關係。

在迭代過程 z z2 + c 中，我們有四個參數： z 的初始值的實部、虛部，以及 c 的實部、虛部。 Julia 集就是給定 c 的實部、虛部後所得的結果，而 Mandelbrot 集則是限定 z 的實部和虛部均為 0 後的結果。

大家可能想到，任意限定其中兩個參數，把另外兩個參數當作變數，我們還能得到很多不同的圖形。

事實上，如果把所有不同的 Julia 集重合起來，我們將會得到一個四維圖形，它的其中兩個維度是不同的初始值 z 構成的複平面，另外兩個維度則是不同的常數 c 構成的複平面。這個四維空間就包含了所有不同的初始值在所有不同的常數 c 之下迭代的發散情況。

而 Mandelbrot 集，則是這個四維圖形在 c = 0 處的一個切片，並且是最具有概括力的一個切片。

因此，我們相當於有了 Mandelbrot 集的一個四維擴展，從這個四維圖形中，我們可以切出很多二維的或者三維的切片，得到更多驚人而漂亮的圖形。

Mandelbrot 集還有另外一種高維擴展，即用四元數 a + b i + c j + d k 來代替複數，從而得到另一種四維 Mandelbrot 集。可惜，這些擴展都是四維的，我們只能從它們的切片中獲取三維圖形。

要想欣賞真正的三維版 Mandelbrot 集，我們還得想想別的方法。數學家們創造了很多漂亮的三維版 Mandelbrot 集，不過它們的定義有些生硬，並不自然。

另外還有一個叫做 Multibrot 集的東西，它就是把 Mandelbrot 集產生規則中的 z2 一般化，用 zn 代替。隨著 n 的連續變化， Multibrot 集也會連續地變化。

如果把不同 n 所對應的 Multibrot 集重疊在一起，我們就會得到一個三維圖形（如下圖， n 從 1 取到 5 ）。這也勉強算得上是 Mandelbrot 的三維擴展吧。

Gaston Julia 和 Beno?t B. Mandelbrot 兩人的研究並未就此結束，這一系列研究直接導致了復動力學（complex dynamics）這一新學科的誕生。

本文由超級數學建模整理

本文轉載於Matrix67

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