5道有趣的物理題，你做過幾道？

你會做嗎？

1

有一個半圓柱體橫放在水平桌面上，截面的半徑為 R 。我們在半圓柱體上放一塊木板，試圖讓它在半圓上保持平衡。假如這塊木板非常薄，那麼這塊木板很容易放穩，即使有些小動靜，木板也會自動恢復平衡。但考慮另外一個極端，假如這是一塊非常厚非常厚的木板（甚至是大樓一般的形狀），它顯然不能穩放在這個半圓上。

那麼，這中間一定會有一個臨界點。這個臨界點在哪裡？換句話說，這個半圓上最多能放穩一塊多厚的木板？

把半圓的半徑記作 R ，把木板的厚度記作 t 。如果把木板平放在半圓上，其重心的高度就是 R + t/2 。假如這塊木板傾斜了一個微小的角度 θ ，那麼圖中 M』T 的長度等於弧 MT 的長度，即 2πR·(θ/2π) = R·θ 。

此時，木板的重心 G』 的高度變為了 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ。為了讓木板保持平衡，不會自動往下滑，我們需要讓新的重心高度大於原來的重心高度，即 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ > R + t/2。

解出不等式，再令 θ0 ，即可得到 t

2

假如你面向東邊，站在冰面上，鞋底與冰面完全沒有摩擦。你能否做出一系列動作，使得自己最後能面向西邊站立？

可以。只需要重複「伸臂－揮臂－屈臂」的動作，你的身體便會向反方向轉動一點。期待實驗黨。

3

投一枚硬幣，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打遊戲，如果立起來，我就去學習。

不知道大家第一次看到這個笑話時，有沒有想過，如果一枚硬幣真的有 1/3 的概率正面朝上，有 1/3 的概率反面朝上，有 1/3 的概率立起來，那麼這個硬幣的半徑與厚度滿足什麼樣的關係？

這枚硬幣必須滿足，把它立起來後，即使傾斜 30 度仍然不倒。這樣，硬幣直立的「勢力範圍」才會達到 120 度。因此，硬幣的直徑應該是厚度的 √3 倍。

4

假設有一個圓錐形的冰山，冰山表面絕對光滑。你打算把一個繩圈套在山尖上，然後沿著繩索爬上去。考慮兩個極端情況：如果冰山特別尖，頂角特別小，這個計劃自然不成問題；但若冰山特別「肥」，頂角特別大，向下拉繩子後，繩圈將會滑出山尖。這中間一定有一個臨界點，也就是繩圈掉不出來的最大頂角。這個頂角是多大？

這是一個非常有趣的問題。問題的本質就是，繩圈在怎樣的圓錐面上才存在「被拉緊」的穩定狀態。容易想到，繩子被拉緊，意味著繩圈從 A 點出發，將沿最短路徑繞過山尖一周，再回到 A 點。如果把圓錐的側面展開成扇形，繩圈其實就像下面這樣（圖中的 A 點和 A』 點在圓錐上是同一個點）。

顯然，當這個扇形的頂角小於 180 度時，這樣的繩圈才可能存在；而當這個扇形的頂角大於 180 度時，拉緊的繩圈就會滑到山尖外面去。據此不難推出，所求的臨界情況就是，圓錐的高與母線的夾角為 30 度。

5

上樓時，人克服重力做功，需要耗費很多能量。但是，在平地上行走時，人並沒有做功。那麼，為什麼我們走路時還要耗費能量呢？

1999 年 3 月的 Scientific American 上說到，其實在步行時，我們也是要克服重力做功的。這是因為，在步行的過程中，人的重心會一上一下地擺動。當兩腿一前一後著地時，人的重心偏低；而單腿著地邁步時，人的重心會升高大約 3cm 。我們走路的能量主要就消耗在了這裡。

當然，事實上，即使人不走路，光是原地站著，也是要耗費能量的（大約為 80W ）。假設人的步行速度是 v ，那麼步行所用的能量可以用公式 P = 80W + K·v 大致算出，其中 K·v 就是步行過程中耗費的能量，係數 K 大約為 160N 。

教中學物理最怕聰明孩子，一些古怪的問題常常會讓老師也支支吾吾答不上來。初中物理中，有幾個最不好給學生解釋的事情。走路不做功，為什麼還要耗費能量？電流從電廠來又回到電廠去，為什麼我們還要支付電費？把裝滿水的水杯不蓋紙片直接倒過來，為什麼大氣壓沒有把水支撐起來？拳頭打在牆上後將會受到牆給拳頭的反作用力，但若拳頭揮空了，這個力的反作用力是什麼？

你都打算怎麼解釋？

本文由超級數學建模編輯整理

本文節選自

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