數學在物理中的運用

數學是研究物理學的有力工具，不論是物理實驗的測量和計算，物理概念和規律的表達，還是習題求解等，都離不開數學的應用．但是，數學只是工具．作為工具用的數學必須與物理現象的內容統一，而且還受到具體的物理條件的制約，所以運用數學解決物理問題的能力培養必須充分考慮到物理學科的特點。

眾所周知，物理學的發展離不開數學，數學是物理學發展的根基，並且很多物理問題的解決是數學方法和物理思想巧妙結合的產物。打好數學基礎要從高中做起 ，培養學生的數學思想，創新能力，更好的與大學課程接軌，更早的把高中生帶到物理殿堂。

下面以一題為例說明一下數學思想在物理中的應用：

【例一】如圖所示，一根一段封閉的玻璃管，長L=96厘米內有一段h1=20厘米的水銀柱，當溫度為27攝氏度，開口端豎直向上時，被封閉氣柱h2=60厘米，溫度至少多少度，水銀才能從管中全部溢出？

解：首先使溫度升高為T0以至水銀柱上升16厘米，水銀與管口平齊，此過程是線性變化。溫度繼續升高，水銀溢出，此過程不再是線性關係。設溫度為T時,剩餘水銀柱長h,對任意位置的平衡態列方程：

(76+ h1)×60/300=(76+h) ×(96-h)/ T 整理得：

T=(-h2+20h+7296)/19.2

h的變化範圍0——20，可以看出溫度T是h的二次函數，此問題轉化為在定義域內求T的取值範圍,若Tmin

只有通過二次函數極值法，才能從根上把本體解決。加強數學思想的滲透是新教材新的一個體現，比如：「探索彈簧振子周期與那些因素有關」，「探索彈簧彈力與伸長的關係」。在實際教學過程中應該引起高度重視並加以擴展。

大學物理課程與高中物理課程跨度較大，難點在於運用數學手段探索性研究物理問題的方法，另外微積分思想比較難以理解，為了與大學物理課程更好的接軌，在高中階段對學生進行微積分思想的滲透也是非常必要的。因此在高中物理教學過程中應抓住有利時機滲透微元思想，為學好微積分奠定良好的基礎。滲透的內容應該有兩方面：一是變化率，二是無限小變化量，比如：

在講速度時，平均速度v=△s/t,即時速度呢？△s/t就是變化率,當△s取無限小時，v就可以理解為某一時刻的速度——即使速度。加速度a= △v/t, △v/t是速度變化率，當△v取無限小時，加速度a就可以理解為某一時刻的加速度。象這樣的例子還有w/t,I/t, △φ/t等等。總之高中物理教師應當根據學生的具體情況適當的滲透微積分的思想並加以配套練習，達到鞏固理解的目的。下面討論一個相關題目。

【例二】一豎直放的等截面U形管內裝有總長為L的水銀柱， 當它左右兩部分液面做上下自由振動時，證明水銀柱的振動時間諧振動。

解：設兩液面相平時速度為V0,建立坐標如圖。

當有液面上升x時，液體速度為v,則根據能量守恆的

mv02/2=△mgx1 +mv12/2 ⑴

△m=mgx1/L ⑵

⑵帶入⑴得

mv02/2=mgx12/L +mv12/2 ⑶

當液面在上升△x時,x2=x1+△x 則

mv02/2=mgx22/L +mv22/2 ⑷

⑷減⑶ 得

0=(x22-x12)mg/L+m(v22-v12)/2化簡得：

0=(x1+x2) mg△x/L+m(v12-v22)/2 ⑸

△x很小，則認為加速度a不變,根據運動學公式得：

v12-v22=2ax帶入⑸得

0=2x△xmg/L+2ma△x/2 ⑹

即：F=-2mgx/L 2mg/L為常數K，證得水銀柱的振動為簡諧振動。

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