用業餘時間，實現跨越半世紀的數學突破：來看研究抗衰老的生物學家順手做出的成果

科學家最近證明，在這個包含826個頂點的圖中，需要至少5種顏色以保證被線段連接的亮點顏色均不相同。

沉寂了近60年的「平面色數」問題在上個月終於出現了關鍵進展，令人驚奇的是，取得這一突破的不是專業數學家，而是一名研究衰老問題的生物學家。業餘數學愛好者，是怎樣做到這一點的？

撰文 | Evelyn Lamb

翻譯 | 潘磊

審校 | 吳非

1950年，芝加哥大學的學生愛德華·尼爾森問了一個看起來很簡單，卻困擾無數數學家數十年的問題：想像一幅由點和連接點的線段構成的圖，圖中所有線段的長度一致，且都落在平面上。現在給圖中所有的點上色，要求線段兩段的點不能同色。問題來了：如果圖上有無限多的點，那麼最少需要多少種顏色？

現在，這個尋找平面圖色數的問題被稱作Hadwiger-Nelson問題，它激起許多數學家的興趣，包括著名的匈牙利數學家Paul Erd?s，他是20世紀最高產的數學家之一。數學家們很快縮小了色數範圍，得出無限點圖的解下界是4，上界是7。之後幾十年，其他研究者陸續證出一些局部解，但是4到7的範圍無人改寫。

直到今年，突破性的成果才出現。令人驚奇的是，帶來這一突破的不是數學家，而是一名生物學家。上個月，研究衰老的英國生物學家Aubrey de Grey在論文預發表網站arxiv.org上投了一篇標題為「The Chromatic Number of the Plane Is at Least 5.」（平面色數問題的解不會小於5）的論文。De Grey此前因預測現代人類能夠活到1000歲而聞名。在這篇論文中，他證明了不可能用4種顏色完成上色，這是Hadwiger-Nelson問題在沉寂了數十年後的第一步關鍵進展。「我可真是太幸運了，」de Grey 說道，「想出一個60年問題的解，這可不是每天都能做到的。」

Aubrey de Grey

研究生物的數學開拓者

De Grey成了一位看似不可能的數學領域開拓者。他的本職是「逆轉衰老負面影響」（SENS）研究機構的聯合創建人兼首席科學家。從棋牌遊戲中，他找到了解決平面色數問題的靈感。De Grey曾經是一名頗有實力的黑白棋（Othello）選手，通過比賽他還結交了一些同樣熱衷於這項運動的數學研究者。他正是從這些數學家口中聽到了圖論，到現在de Grey仍時不時在業餘時間研究這類問題。他說：「有時我需要脫離開生物學工作去休息，這時我會去思考數學。」趁著去年的聖誕假期，他找到了研究數學問題的機會。

雖然幾率不大，但業餘數學愛好者能在一個長期懸而未決的問題上取得重要進展，這種事確有發生。20世紀70年代，一位沒有數學背景的家庭主婦Marjorie Rice在《科學美國人》雜誌上偶然看到一篇討論平面密鋪五邊形的專欄，於是她對這個問題產生了興趣。最終，她在這個問題下添加了四種新的五邊形。Gil Kalai是希伯來大學的數學家，他認為非專業的數學研究者能創造出重大突破是一件好事。「這能為數學研究帶來更多視角。」

四色猜想可能是是世界上最著名的染色問題。假設地圖上每個國家都是一個連續的區塊，那麼任何地圖都能夠只用四種顏色來著色，使得沒有兩個相鄰的國家顏色相同。各個國家區域的實際大小和形狀對問題並不重要，所以數學家可以把它轉化成圖論的語言——點陣和連接的線段，如果兩個國家毗鄰就把兩個點連接起來。

Hadwiger-Nelson問題和四色猜想則有一些不同。它討論的不是可以在地圖上呈現的有限點陣，而是把範圍拓展到平面上無限的點。如果兩個點恰好相隔一個單位距離，就用線段連接這兩個點。要尋找平面色數的下界，需要構造出一個必須用某個數量顏色染色的有限點陣，這也是de Grey所做的。

他的點圖構造基於莫澤圖（Moser spindle）。Moser取自數學家兄弟Leo Moser和William Moser的姓氏。莫澤圖包含7個點和11條邊界，其最小染色數為4。通過一些計算機輔助， Grey將莫澤圖和另一種點陣精巧地融合成一個有著20425個端點的龐大圖形，這個圖形無法用4種顏色完全染色。接著他將圖形規模縮小至1581個點，並且用計算機檢查確定僅用4種顏色不可行。

De Grey通過計算機得到的含1581個點的圖

加入Polymath計劃？

找到任何一種最小染色數為5的圖形是一個重大的突破，但是數學家總期望找到有著相同性質卻更簡單的圖形。也許在發現更小的或找到最小的五色圖的過程中，研究人員能更深入地理解Hadwiger-Nelson問題，從而有機會去證明五種顏色（或六、七種）能完全著色平面上的所有點。

De Grey 已向加州大學洛杉磯分校的陶哲軒教授提出申請，期望將尋找最小五色點圖問題加入Polymath計劃。這個合作項目已有十年之久，源於劍橋大學數學家Timothy Gowers促進大規模的數學在線合作的想法。Polymath計劃中的工作完全開放，任何人都能參與思考研究。

陶哲軒說，並非所有數學問題都適合Polymath，但是de Grey的工作有我們需要的特點。問題容易理解，能迅速開展研究，而且每一步進展能有明確的標準：縮小非4色點圖的點陣規模。很快，俄亥俄州立大學的Dustin Mixon與合作者Boris Alexeev發現了一種包含1577點的圖。隨後，德克薩斯大學奧斯汀分校的計算機科學家Marijn Heule又將頂點數先後縮小至874和826個。

有著60年歷史的hadwiger-Nelson問題值得拿出來，再好好研究一番。「對於類似的問題或猜想，最終答案有可能涉及難以想像的深奧數學理論，」西澳大學數學家Gordon Royle說，「或者，僅僅是個人的奇思妙想，就改寫了染色問題的下界。」

https://www.quantamagazine.org/decades-old-graph-problem-yields-to-amateur-mathematician-20180417/

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