三角形的內角和等於180°？不對！

「三角形內角和等於180°」，這對於我們來說是再熟悉不過的一個常識，陳省身教授從一個不同的角度去看待這個問題，並將這個問題延伸推廣，於1944年，找到了一般曲面上封閉曲線方向改變數總和的公式（高斯—比內—陳公式），把幾何學引入了新的天地，被譽為劃時代的貢獻。

美籍華人陳省身教授是當代舉世聞名的數學家，他十分關心祖國數學科學的發展。人們稱讚他是「中國青年數學學子的總教練」。

陳省身教授

1980年，陳教授在北京大學的一次講學中語驚四座：

「人們常說，三角形內角和等於180°。但是，這是不對的！」

大家愕然。怎麼回事？三角形內角和是180°，這不是數學常識嗎？

接著，這位老教授對大家的疑問作了精闢的解答：

說「三角形內角和為180°」不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當 說「三角形外角和是360°」！

把眼光盯住內角，只能看到：

三角形內角和是180°；

四邊形內角和是360°；

五邊形內角和是 540°；

…………

n邊形內角和是（n－2）×180°。

這就找到了一個計算內角和的公式。公式里出現了邊數n。

如果看外角呢？

三角形的外角和是360°；

四邊形的外角和是360°；五邊形的外角和是360°；

…………

任意n邊形外角和都是360°。

這就把多種情形用一個十分簡單的結論概況起來了。用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律。

設想一隻螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子（圖1）。每經過一個頂點，它前進的方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個頂點處的外角。爬了一圈，回到原處，方向和出發時一致了，角度改變數之和當然恰好是360°。

圖1

這樣看問題，不但給「多邊形外角和等於 360°」這條普遍規律找得到了直觀上的解釋，而且立刻把我們的眼光引向了更寬廣的天地。

一條凸的閉曲線——卵形線，談不上什麼內角和與外角和。可是螞蟻在上面爬的時候，它的方向也在時時改變。它爬一圈，角度改變數之和仍是360°（圖2）。

圖2

「外角和為360°」，這條規律適用於封閉曲線！不過，敘述起來，要用「方向改變數之和」來代替「外角和」罷了。

對於凹多邊形，就要把「方向改變數總和」改為「方向改變數的代數和」（圖3）。不妨約定：逆時針旋轉的角為正角，順時針旋轉的角為負角。當螞蟻在圖示的凹四邊形的邊界上爬行的時候，在A?,A?,A?處，由方向的改變所成的角是正角：∠1，∠2，∠4；而在A?處，由方向的改變所成的角是負角：∠3。如果你細細計算一下，這4個角正負相抵，代數和恰是360°。

圖3

上面說的都是平面上的情形，曲面上的情形又是怎麼樣呢？地球是圓的。如果你沿著赤道一直向前走，可以繞地球一圈回到原地。但在地面上測量你前進的方向，卻是任何時刻都沒有變化。也就是說：你繞赤道一周，方向改變數總和是0°！

圈子小一點，你在房間里走一圈，方向改變數看來仍是360°。

不大不小的圈子又怎麼樣呢？如果讓螞蟻沿著地球儀上的北回歸線繞一圈，它自己感到的（也就是在地球儀錶面上測量到的）方向的改變數應當是多少呢？

用一個圓錐面罩著北極，使圓錐面與地球儀錶面相切的點的軌跡恰好是北回歸線（圖4）。這樣，螞蟻在球面上的方向的改變數和在錐面上方向的改變數是一樣的。把錐面展開成扇形，便可以看出，螞蟻繞一圈，方向改變數的總和，正好等於這個扇形的圓心角（圖5）：

圖4

圖5

要弄清楚這裡面的奧妙，不妨看看螞蟻在金字塔上沿正方形爬一周的情形（圖6）。

圖6

它的方向在拐角處改變了多大角度？把金字塔表面攤平了一看便知：在B處改變數是180°-（∠1+∠2）；繞一圈，改變數是

4×180°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8）

=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA

這個和，正是錐面展形後的「扇形角」（圖7）！

圖7

早在2000多年前，歐幾里德時代，人們就已經知道三角形內角和是180°。到了19世紀，德國數學家、被稱為「數學之王」的高斯，在對大地測量的研究中，找到了球面上由大圓弧構成的三角形內角和的公式。又經過幾代數學家的努力，直到1944年，陳省身教授找到了一般曲面上封閉曲線方向改變數總和的公式（高斯—比內—陳公式），把幾何學引入了新的天地。由此發展出來的「陳氏類」理論，被譽為劃時代的貢獻， 在理論物理學上有重要的應用。

從普通的、眾所周知的事實出發，步步深入、推廣，挖掘出廣泛適用的深刻規律。從這裡顯示出數學家透徹、犀利的目光，也表現了數學家窮追不捨、孜孜以求的探索真理的精神。

作者：張景中

節選自《數學家的眼光》

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