趣味數學連載第1期

最新 05-16

泡泡數學 | 趣味數學連載①

萌萌與他的小夥伴

本篇適合5、6年級學生閱讀

同學們知道嗎？數學是思維的體操，而思維的關鍵在於邏輯，邏輯推理能力是人類認知自我和客觀世界的前提。在數學問題里，就有一些和邏輯推理有關的問題，非常燒腦、非常有趣、非常鍛煉我們的邏輯。今天，我們就來學一道和邏輯推理有關的題目：

【題目】萌萌和8個好朋友去李老師家玩．李老師給每人發了一頂帽子，並在每個人的帽子上寫了一個兩位數，這9個兩位數互不相同，且每個小朋友只能看見別人帽子上的數．

李老師在紙上寫了一個自然數A，問這9位同學：「你們知道自己帽子上的數能否被A整除嗎？知道的請舉手．」結果有4人舉手．

李老師又問：「現在你們知道自己帽子上的數能否被24整除嗎？知道的請舉手．」結果有6人舉手．

已知萌萌兩次都舉手了，並且這9位同學都足夠聰明且從不說謊．請問：除了萌萌之外的人帽子上8個兩位數的總和是多少？

【解答】分析

例子1:三個小朋友A,B,C，帽子上的數分別是1~3的某個，且互不相同，請問知道自己帽子上的數是幾的同學請舉手。

A會舉手，原因是A看到B是2，C是3，那麼通過排除法就可以推理出來自己是1，同理B和C也會舉手。

例子2:四個小朋友

A,B,C,D，帽子上的數分別是1~5的某個，且互不相同，請問知道自己帽子上的數是奇數還是偶數的同學請舉手。

B會舉手，原因是B能看到1,3,5，而1~5中只有這3個奇數，那麼自己帽子上的數不會和別人一樣，必然是偶數。A,C,D則不會舉手，比方說A，他能看到2,3,5，但是剩下的數中有奇數1,也有偶數4,都有可能是自己帽子上的數.於是他不能100%斷定自己是奇數還是偶數,所以不能舉手(因為題目說他們都足夠聰明且從不撒謊~)

但是當B舉手後，過一會兒A,C,D就能推理出B看到了1,3,5,於是再結合別人的帽子就能推理出自己帽子上的數是幾了.例子2的關鍵是奇數和偶數的區別,可以理解為是否能被2整除,那麼原題就有思路了.

原題中第一次舉手的四個人(假設為萌萌,A,B,C),他們之所以舉手是因為看到了另外5個人(假設為D,E,F,G,H)帽子上正好是5個A的倍數,並且在所有兩位數 (10~99)中恰好只有這5個A的倍數.那麼10~99中,有且只有5個A的倍數,可以算出A的範圍是17~19(16有6個倍數,20隻有4個).

由例子2得,在萌萌,A,B,C舉手後不久，第二次舉手前,D,E,F,G,H就能知道自己帽子上是哪個數了.

所以第二次舉手的6個人是萌萌,D,E,F,G,H.

第二次萌萌舉手是因為看到了24的4個倍數(即24,48,72,96). 由於萌萌兩次都舉手,一共9個人,他只能看到8個數,而第一次他看到5個A的倍數,第二次看到4個24的倍數,5+4=9＞8,說明有一個數他兩次都看到了,那麼這個數是24,48,72,96中的某個並且是A的倍數,所以A不可能是17,19,只能A=18.於是兩次都看到的是72.

所以除了萌萌外,另外8個數是18,36,54,72,90,24,48,96.

好了同學們，今天的趣味邏輯推理課就分享到這裡，你學會了嗎？

下期預告：倒霉蛋原理