正弦函數究竟有多神奇？

絕對超乎

你的想像

Q：

最近在學習時觀察到正弦函數應用如此廣泛：數學中的一大批公式、物理學上的簡諧運動等等、自動控制里的頻域分析等等、電氣工程中的交流電等等，為什麼各個領域的這麼多公式定理都用到了正弦函數？

這遠遠超出了我們一開始接觸正弦函數時——「直角三角形對邊與斜邊的比值」——一種三角函數的定義了吧，這是為什麼呢？能否講解一下，或者舉例說明正弦函數在某個領域裡的神奇應用呢？

A：

很有趣的問題。

正弦就是直角三角形某角的對邊與斜邊之比。我們來看下圖：

左圖中我們看到了一個直角三角形，並且A是銳角φ的對邊，於是就有了圖中的定義，即：

並由此推得：

現在我們讓角度φ旋轉起來，然後在右圖中的坐標平面上繪製出它的高度曲線，我們就得到了正弦曲線。我們看到，正弦曲線的高度是在A和-A之間變化的。

看起來，正弦似乎只有數學上的意義。其實不然，我們來看幾個應用吧：

1.流體力學

上圖中我們看了一隻風箏。當氣流從右往左水平作用於風箏上時，由於風箏是傾斜的，它與氣流方向存在一個角度，於是氣流就對風箏產生了向上的作用力，也即升力。

類似的，包括飛機、賽車等等，都和這隻風箏有點關係。

在這裡，我們看到了角度、水平作用力和升力等諸多參數，它們之間就存在正弦（包括餘弦在內）的關係。

由於風箏迎著氣流的正面和背著氣流的反面空氣的壓強不同，氣流的作用力當然也不同，這屬於流體分析的範疇，於是這個問題又與流體力學掛上了鉤。

例如前一張圖中的賽車，它尾部的壓氣板彎曲部分是朝下的，於是壓氣板會產生一個向下的作用力，而且賽車速度越快，這個壓力就越大，其目的就是增加輪胎對地面的附著力。

由此可見，正弦關係在流體力學及流體作用力方面起到很重要的作用。

2.各種交變數

日常所見的交變數非常多，最典型的就是交流電。

從左圖中，我們看到繞組在空間中的旋轉情況，繞組感應出來的電壓是空間角度的函數，當然也是時間的函數。由此可知，電壓值一定與時間與頻率都有關係，於是我們的主角，正弦量再次出現。

電壓值與時間有關，也就是說，電壓可以表徵為時域特性，也即拉普拉斯變換；同時，電壓也可以表徵為頻域特性，也即傅里葉變換。這些都屬於複變函數的內容。

正因為分析電氣理論用三角函數特別方便，所以專門配套了相量分析法。注意哦，這裡的相量不是向量，當然也不是矢量。

3.三角函數與工程測量

這裡面的應用就非常多了。

例如我們面前有一棵樹，我們想知道這棵樹有多高，我們可以採用下圖的測量方法：

這裡的h就是樹的高度，α是角1，β是角2，M是兩個測量點之間的距離。

事實上，工程測量是一門很大的學問。它包括普通的物體測量，例如機加工時的加工件尺寸測量，也包括海拔高度的測量，以及地形勘測、測量和繪製。測量所用的設備既可以是最常見的鋼捲尺，也可以是衛星測量。它牽涉到測量精度的處理等等，真正是一門高大上的學問。

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總而言之，正弦函數的應用真是超乎想像，其應用面不甚枚舉。

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於Patrick Zhang（知乎）

已獲作者授權

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