馬克思的數學手稿
馬克思(1818—1883)的偉大貢獻，正像恩格斯在馬克思墓前演講中所說的：達爾文發現了有機界的規律，馬克思發現了人類的發展規律，揭示了基礎和上層建築的相互關係；他在對資本主義生產方式進行深入的研究中，他發現了「剩餘價值」，從而獲得了開啟資本主義社會奧秘的鑰匙。
千年偉人馬克思
在20世紀與21世紀之交，人們在告別人類紀元第二個千年，迎接第三個千年到來的時候，英國劍橋大學文理院的教授們在1999年發起了一個評選「千年第一偉人」的活動，徵詢、推選和投票的結果是：馬克思第一，愛因斯坦第二。
隨後，英國廣播公司(BBC)在國際互聯網上進行全球投票評選第二個千年的前10名思想家，其結果為：馬克思第一，愛因斯坦第二。接著，路透社又邀請各界名人再行評選時，愛因斯坦以一票之多領先於甘地和馬克思。依據這一系列的評選結果，人們公認馬克思和愛因斯坦(1879—1955)應並列為千年第一偉人。
凡讀過馬克思的著作，特別是《資本論》的人，都為馬克思的學術研究及其學術 成就而折服。他對所研究的，不但擁有豐富的實際資料，而且佔有大量的資料，在論述中，不但處處閃耀著深刻的思想火花，尤其滲透著那種一步一步深入進去的強有力的邏輯力量。
北京大學的江澤涵教授是我國著名的數學家，是我國拓撲學研究的奠基人，也是馬克思《數學手稿》的最主要譯者，他讀了《資本論》第一卷以後，深有感慨地說：「馬克思研究資本主義的方法同我們研究數學的方法是一樣的，《資本論》的論證方法同我們的數學論證方法一樣，都是嚴密地從邏輯上一步步推理和展開，真是無懈可擊，令人信服。」《資本論》作為研究早期資本主義社會的經典著作，展顯為一個邏輯嚴密的理論體系，正因為其研究方法之縝密而至今仍然得到全世界學者們的高度讚賞。
馬克思數學手稿的具體情況
恩格斯稱馬克思為「巨匠」。他說，馬克思研究的科學領域是很多的，而且對任何一個領域都不是膚淺地研究的，甚至在數學領域也有獨到的發現。
馬克思一生酷愛數學，從19世紀40年代起，直到逝世前不久，數十年如一日地利用閑暇時間鑽研數學，給我們留下了近千頁數學手稿，其中有讀書摘要、心得筆記、評述以及一些研究論文的草稿。20世紀30年代以後，馬克思的數學手稿和其他手稿一起，被保存在荷蘭首都阿姆斯特丹的國際社會史研究所的檔案館中。
數學研究緊密結合經濟學研究
起初馬克思在與恩格斯和其他人的通信中討論初等數學問題居多。例如，他在1864年的一封信中有關於數字的議論：「可以看出：不太大的計算，例如在家庭開支和商業中，從來不用數字而只用石子和其他類似的標記在算盤上進行。在這種算盤上定出幾條平行線，同樣幾個石子或其他顯著的標記在第一行表示幾個，在第二行表示幾十，在第三行表示幾百，在第四行表示幾千，余類推。這種算盤幾乎整個中世紀都曾使用，直到今天人還在使用。
至於更大一些的數學計算，則在有這種需要之前古羅馬人就已有乘法表或畢達哥拉斯表，誠然，這種表還很不方便，很繁瑣。因為這種表一部分是用特殊符號，一部分是用希臘字母(後用羅馬字母)編製成的。……當做很大的數的計算時，舊方法造成不可克服的障礙，這一點從傑出的數學家阿基米德所變的戲法中就可以看出來。」
1864年5月30日，恩格斯在給馬克思的信中寫道：「看了你那本弗朗克爾的書，我鑽到算術中去了；……以初等方式來陳述諸如根、冪、級數、對數之類的東西是否方便。不管怎樣好地利用數字例題來說明，我總覺得這裡只限於用數字，不如用a + b作簡單的代數說明來得清楚，這是因為用一般的代數式子更為簡單明了，而且這裡不用一般的代數式子也是不行的。」
馬克思關於數學的筆記和他學的材料有緊密的聯繫。在1846年的一個經濟學筆記本中，最後幾頁全是各種代數運算；在以後的許多筆記本中也都記有數學公式和圖形，還有整頁整頁的算草；在為撰寫《政治經濟學批判大綱》準備材料的筆記本中他畫了一些幾何圖形，記錄了關於分數指數和對數的公式。1858年1月11日馬克思在致恩格斯的信中說：「在制定政治經濟學原理時，數學計算的錯誤大大地阻礙了我，失望之餘，只好重新坐下來把代數迅速地溫習一遍。算術我一向很差，不過間接地用代數，我很快又算正確的。」馬克思曾為自己能把高等數學的某些公式用於經濟學的研究而深感高興。
1868年1月8日馬克思寫信給恩格斯談到工資的研究時，他說：「工資第一次被描寫為隱藏在它後面的一種關係的不合理的表現形式，這一點通過工資的兩種形式即計時工資和計件工資得到了確切的說明(在高等數學中常常可以找到這樣的公式，這對我很有幫助)。」
看來，馬克思的數學興趣與他希望把數學運用於經濟學研究有關。在1873年5月31日給恩格斯的信中談到經濟危機的研究時，他說：「為了危機，我不止一次地想計算出這些作為不規則曲線的升和降，並曾想用數學公式從中得出危機的主要(而且現在我還認為，如有足夠的經過檢驗的材料，這是可能)。」在《資本論》中我們也能看到數學的運用，據拉法格回憶，馬克思曾經強調說：一門只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算是真正的科學。
對微積分的、思索和考察
19世紀60年代以後，馬克思陸續閱讀了一大批微積分方面的書籍，其中有布沙拉、辛德、拉庫阿、霍爾等人各自編寫的微積分教科書，還有牛頓有關的數學原著等，他寫下了詳細的讀書筆記。
馬克思對這些教科書進行比較，開始了自己對於微分學中一些問題的獨立的思考。在1881年前後，馬克思撰寫了關於微分學的歷史發展進程、論導函數概念、論微分以及關於泰勒定理等問題的研究草稿，而且對於這些問題都曾寫過多遍草稿，例如，關於泰勒定理留下了八份草稿。
馬克思把微分學看作科學上的一種新發現、新事物，考察它是怎樣產生的，產生以後遇到一些什麼困難，經歷了怎樣的曲折發展。馬克思對微積分有過一段生動的而又富有哲理的描述：「人們自己相信了新發現的演算法的神秘性。這種演算法通過肯定是不正確的數學途徑得出了正確的（尤其在幾何上是驚人的）結果。人們就這樣把自己神秘化了，對這新發現評價更高了，使一群舊式正統派數學家更加惱怒，並且激起了反對的叫囂，這種叫囂甚至在數學界以外都產生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的。」
馬克思把從牛頓(1642—1727)、萊布尼茨(1646—1716)創建微分學到拉格朗日(1736—1813)的發展，將微分學大約一百多年的發展過程分為三個階段，分別稱為：「神秘的微分學」、「理性的微分學」、「純代數的微分學」。在牛頓和萊布尼茨時期 ，新生的微積分很快在應用上獲得了驚人的成功，但是從舊的傳統數學看來，這種新演算法，比如微分過程，正是通過不正確的數學途徑得到正確的結果的。在同一個公式的推導過程中Δx和dx既作為有限的量，卻又消失為零，在邏輯上顯示出矛盾；有時為什麼能有確定的值等等，數學家們還不能從根本上給出合理的解釋。人們認為微分學是神秘的。
牛頓和萊布尼茨，以及後繼者們都希望給微分學找到合乎邏輯的說明，他們為此付出 了很大的努力。以達朗貝爾(1717-1783)為代表的「理性的微分學」和以拉格朗日為代表的「純代數的微分學」，都是這種努力在某個階段的成果。馬克思指出：「這裡，像在別處一樣，給科學撕下神秘的面紗是重要的。」
馬克思力圖運用辯證法觀點去解決微分學的困難。他認為「理解微分運算時的全部困難」，「正像理解否定之否定本身」一樣，要把「否定」理解為的環節，並且要從量和質的統一看待量的變化。在微分過程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其間仍保存著特定的質的關係，即y對x的函數關係所制約的質的關係。因此，當增量Δx變為零，Δy也變為零，有時能具有特定的值，即導函數。馬克思說，要把握的真正含義，「唯一的困難是在逐漸消失的量之間確定一個比的這種辯證的見解。」
馬克思以比較簡單的多項式函數的微分過程為例，參照比較了多種教科書，運用上述觀點，選擇了一種具體的推導步驟以說明這種函數的微分過程的合理性，從而說明微分學的神秘性是可以擺脫的。現在看來這樣的解釋固然是很淺顯的，也不足以說明一般函數的微分過程。但這也是馬克思為撕下微分學的神秘面紗所做的一份努力。
馬克思曾勸恩格斯研究微積分。他在1863年7月6日給恩格斯的信中說：「有空時我研究微積分。順便說說，我有許多關於這方面的書籍，如果你願意研究，我準備寄給你一本。我認為這對於你的軍事研究幾乎是必不可缺的。況且，這個數學部門(僅就技術方面而言)，例如同高等代數比起來，要容易得多。除了普通代數和三角以外，並不需要先具備什麼知識，但是必須對圓錐曲線有一個一般的了解。」
馬克思對高等數學的興趣和鑽研和帶動了恩格斯，1865年以後，他們在通信中討論得更多的則是微積分方面的了。馬克思在一封給恩格斯的信的附件中說：「全部微分學本來就是求任意一條曲線上的任何一點的切線。我就想用這個例子來給你說明問題的實質。」馬克思是用求拋物線y2= ax上某一點m的切線的例子，認真畫了圖，給恩格斯做了詳細解釋。
1881年馬克思把一份「論導數概念」的手稿和一份「論微分」手稿謄抄清楚，先後寄給了恩格斯。恩格斯認真閱讀了這些手稿，於1881年8月18日給馬克思寫了一封很長的討論導函數的回信，信中說：「這件事引起我極大的興趣，以致我不僅考慮了一整天，而且做夢也在考慮它：昨天晚上我夢見我把自己的領扣交給一個青年人去求微分，而他拿著領扣溜掉了。」
在馬克思的影響下，恩格斯對微積分也越來越有興趣了，他在《反杜林論》、《辯證法》等著作中，不僅大段大段地討論微積分，精闢地分析高等數學與初等數學的區別，而且還有對於微積分的高得不能再高的讚譽：「在一切成就中，未必再有什麼像十七世紀下半葉微積分的發明那樣看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方，我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正在這裡。」
數學中的辯證法
馬克思和恩格斯都非常明確地認為，數學是建立辯證唯物主義哲學的一個重要基礎。恩格斯指出：「要確立辯證的，同時又是唯物主義的自然觀，需要具備數學和自然的知識。」在舊哲學中，黑格爾是論述數學比較多的。恩格斯曾經指出：「黑格爾的數學知識極為豐富，甚至他的任何一個學生都沒有能力把他遺留下來的大量數學手稿整理出版。據我所知，對數學和哲學了解到足以勝任這一工作的唯一的人，就是馬克思。」馬克思忙於自己的研究和革命活動，並沒有承擔這一工作。不過，他在數學手稿中把微分學的發展同德國唯心主義哲學的發展聯繫起來，作了有趣的對比。當他探討牛頓、萊布尼茨與他們的後繼者的關係時，他說：「正像這樣，費希特繼承康德，謝林繼承費希特，黑格爾繼承謝林，無論費希特、謝林、黑格爾都沒有研究過康德的一般基礎，即唯心主義本身；否則他們就不能進一步發展康德的唯心主義。」
馬克思把數學作為豐富唯物辯證法的一個源泉。他通過自己對數學的多年鑽研，在高等數學中他找到了最符合邏輯的，同時也是形式最簡單的辯證運動。在馬克思的數學手稿中可以看到這方面的論述。
數學手稿的出版、翻譯
馬克思曾經打算把自己對數學的一些研究成果寫成正式論文，但他反覆改寫了多遍草稿，卻沒有來得及寫完。他生前曾囑咐小女兒愛琳娜：「要她和恩格斯一起處理他的全部文稿，並關心出版那些應該出版的東西，特別是第二卷(按：指《資本論》第二卷)和一些數學著作。」馬克思逝世以後，恩格斯也曾希望把自己在辯證法方面的研究成果同馬克思遺留下來的數學手稿一齊發表。但是由於他肩負著整理出版馬克思的最重要的著作——《資本論》第二、第三卷的重任，上述願望沒有能夠實現。
馬克思關於微分學的幾篇論文草稿和一些札記於1933年譯成俄文與讀者見面，即在紀念馬克思逝世五十周年的時候，才第一次發表在蘇聯的刊物《在馬克思主義旗幟下》，隨後收入文集《馬克思主義與自然》。此外還陸續出版過德文本、日文本、義大利文本等。在國際學術界引起了學者們的重視和興趣。1977年在西德召開的國際數學史會議上，美國學者肯尼迪作了題為《馬克思與微積分基礎》的學術報告。在我國，從1949年起許默夫就在《東北日報》、《自然科學》、《數學通報》、《新科學》等報刊上發表過關於馬克思數學手稿的文章。
馬克思不是專職數學家，對數學本身也沒有重大的建樹，他的數學手稿之所以受到人們高度的重視，是因為他是人類歷史上的偉大思想家，而他又在數學這一園地上辛勤耕耘過，這種情況是人類文化史上是很罕見的，歷史上任何一位思想家都難以與之相比。在馬克思數學手稿中確有至今還在閃光的思想和見解。比如馬克思在考察了微分學的具體歷史發展過程以後，曾作出這樣的論斷：「新事物和舊事物之間的真實的、從而是最簡單的聯繫，總是在新事物自身取得完善的形式後才被發現。」這是對新舊事物關係的哲理性分析對後人也是很有啟發的。
在馬克思主義理論中是非常注重人的全面發展。馬克思對自由時間或閑暇時間，也就是非勞動時間的重要性有深刻的論述，他把自由時間看作財富，把休閑看作人的生活的重要組成部分。馬克思曾對恩格斯說：「在工作之餘——當然不能老是寫作——我就搞搞微分學。我沒有耐心再去讀別的東西。任何其他讀物總是把我趕回寫字檯來。」馬克思對數學的特殊愛好，使他在任何情況下都能使自己沉浸於數學之中。當馬克思的夫人燕妮身患重病的時候，他給恩格斯寫信說：「寫文章現在對我來說幾乎是不可能了。我能用來使心靈保持必要平靜的唯一的事情，就是數學。」他的關於微分學的草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子裡寫作的。
《數學手稿》將馬克思在數學領域辛勤耕耘過的珍貴足跡保留了下來，讓後人學習了解，它是一份非常寶貴的歷史文獻。它給我們提供一個參考資料，可以使我們從另一個側面來理解微積分的發展史，同時看看馬克思恩格斯這兩位偉人對數學的作用以及發展過程的認識是很有意思的，也是很有價值的。
* 本文內容選載自公眾號數哲三叔
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