假如質數是一串粒子，它們會有怎樣的衍射圖樣？

大約一年前，理論化學家 Salvatore Torquato 對數論學家 Matthew de Courcy-Ireland 說，他用質數做了一些非常不一樣的研究。

Torquato 是普林斯頓大學化學系的一位教授，通常他研究的是物理系統結構中的圖樣，比如晶體、膠質、甚至是一包M&M豆裡面的粒子排列。在他的領域，推導結構的標準方法是用X射線對物質進行衍射。如果X射線擊中的是液體或玻璃等材料中的那種無序分子時，光波會以任何形式被散射，從而形成無可辨識的圖樣。但晶體中對稱排列的原子則能同步的反射光波，波的相長干涉能導致產生周期性的亮點。這些亮點間的間隔，被稱為「布拉格峰」（Bragg peaks）。

Torquato 告訴 de Courcy-Ireland，他的一名博士研究生在一年前對質數序列進行了衍射。為了突顯質數分布中難以捉摸的次序，Torquato和他的學生Ge Zhang，將質數當做一堆一維的粒子序列進行建模，本質上就是把它們當成一群可以散射光波的小球。在這項模擬實驗中，他們讓光從很長的質數序列上被散射，例如從10,000,000,019開始的質數。

在結果出來前，他們並不清楚會出現什麼樣的圖樣，或者是否真的會有任何圖樣出現。質數是所有自然數的基礎組成部分，它們像跳躍的岩石一樣不規則地在數字線上移動，隨之激起許多深刻的問題。de Courcy-Ireland說：「在很多方面上，我們都很難將質數與隨機數字區分。」儘管數百年來數學家發現了許多有關質數間隔的規則，「但我們很難找到任何明確的模式，所以只能把它們想成是『隨機的』。」

但是在三篇新的論文中（一篇由Torquato、Zhang和計算化學家Fausto Martelli發表在二月的《物理學雜誌》上，另外兩篇與de Courcy-Ireland共同撰寫，目前還未經過同行評審），研究人員稱，質數不同於液體，但與晶體相似，它們都會產生衍射圖樣。這項研究的美妙之處就在於它為我們描繪了晶體學家眼中的質數。

從左至右分別為：Salvatore Torquato，Ge Zhang和Matthew de Courcy-Ireland。在新的論文中，他們將質數序列看作是產生衍射圖樣的粒子。|圖片來源：C. Todd Reichart & Matthew de Courcy-Ireland

由質數產生的布拉格峰圖樣與之前所有見過的都不太一樣，Torquato表示，這意味著若作為一個物理系統，質數「是一種全新的結構類型」。普林斯頓大學的研究人員將這種類分形圖樣稱為「有效極限周期性」（effective limit-periodicity）。

獲得的圖樣由一個周期性的明亮峰值序列組成的，這些峰值代表了質數中的最常見間隔——所有質數（除2以外）都在數字線的奇整數位置上，相隔的距離是2的倍數。那些最明亮的亮峰以規律的間隔分散，它們代表的是在數字線上間隔為6的倍數的質數。在它們之間出現的更暗淡的峰值，對應的是相距更遠的質數對，等等等等，直到出現無限密集的布拉格峰嵌套。

在計算機實驗中，理論化學家對質數的長序列進行光的衍射，以揭示其看似不規則分布的隱藏順序。質數會產生類似於分形的衍射圖樣（底部第4張圖），與准晶體（第3張）有相似之處，但並不相同。| 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda /Quanta; 晶體衍射圖樣 / Sven.hovmoeller; 准晶體衍射圖樣 / Materialscientist

密集的布拉格峰曾出現在准晶體的衍射圖樣上，在上世紀80年代，科學家發現准晶體這種材料很奇怪，它們具有對稱卻不重複的原子排列。然而，對於質數「粒子」來說，峰值之間的距離是彼此的一部分，這與准晶體中不規則的布拉格峰間隔不同。

通過採訪眾多數論學對這一研究的看法，我們知道沒有理由期望該研究結果能夠引發數論的進展。大部分相關的數學都已經以其他形式出現過。事實上，當Torquato向de Courcy-Ireland展示他的繪圖和公式時，這位數學家就很快發現，「可以用數論中幾乎已被接受的猜想來解釋」質數衍射圖案。

Torquato告訴de Courcy-Ireland，他可以用他的公式來預測「孿生質數」（相隔為2的質數，如17和19）的出現頻率。數學家認為Torquato其實還可以預測所有其他間隔的質數。布拉格峰的公式在數學上等同於Hardy-Littlewood（哈代-李特爾伍德）的k元組猜想，這是英國數學家Godfrey Hardy和John Littlewood在1923年關於可以存在質數的「數組」的有力論述。一個規則是在之後，不會出現三個連續的奇數質數，因為在那樣一個集合中，總有一個是可以被三整除的，例如如。這條規則說明了為什麼在質數衍射圖樣中，第二亮的峰值來自相隔6的質數對，而不是4。

Hardy和Littlewood的猜想進一步指出了所有被允許的質數數組將沿著數字線以怎樣的頻率出現。即使是Hardy-Littlewood猜想中最簡單的情況——已有一系列進展的「孿生質數猜想」，仍沒有得到證實。因為質數衍射本質上只是對質數的重新表達，因此專家認為很難從中得出Hardy-Littlewood的證明。

然而，這一發現引起了另一個相對年輕領域的共鳴，這個研究領域名為「非周期性序列（aperiodic order）」，其本質是對非重複模式的研究，這一研究領域位於晶體學、動力學系統、諧波分析和離散幾何學的交叉處，並在准晶體被發現之後得到壯大。

Taylor-Socolar花紋：紋樣鎖在一起形成非周期性的鑲嵌，其中瓷磚朝向的序列從不重複。瓷磚上的標記匹配生成更大和更大的三角形的無限層次結構——「極限周期」圖樣的示例。| 圖片來源：Parcly Taxel

質數的圖樣類似於一種非周期性序列，被稱為「極限周期性」。在真正的極限周期系統中，周期性的間隔嵌套在一個無限層級中，因此在任何間隔內，系統都包含只在較大間隔內重複的部分模式。一個例子是由澳大利亞的一位業餘數學家Joan Taylor在20世紀90年代發現的奇怪圖紋，它是一種的多邊形形狀的鑲嵌式棋盤花紋。2010年他與杜克大學的物理學教授Joshua Socolar對此進行了詳細的分析。Socolar認為，計算機實驗表明的是極限周期的物相應該能夠在自然界形成，而且計算表明這樣的系統可能具有不同尋常的性質。當時沒人覺得這與質數有關係。但它們實際上就是極限周期——一種新的序列，在整個系統中，它們間距的同步性只在統計意義上成立。

1976年，哥倫比亞大學的Patrick Gallagher表明，質數的間隔從小的區間內看是隨機的；要想讓它們出現模式則需要更大的區間。在新的衍射研究中，de Courcy-Ireland等人對一個名為「順序度量（order metric）」的量進行了分析，它控制著極限-周期性圖樣的存在。他說：「在開始看到這個數量增長之前，你可以先確定這個區間需要多大。」他被相同的區間長度也出現在一個不同的質數規則——邁爾定理（Maier』s theorem）——勾起了興趣。但現在就談論這一線索能否將我們帶到其他地方還為時尚早。

如布里斯託大學的Jonathan Keating所說，質數衍射圖樣的主要優點在於「它讓不同的思維方式互相聯繫」。但蒙特利爾大學的著名數論學家Andrew Granville則認為，Torquato等人的研究只不過是「一些已知想法的重複」而已。

Torquato並不特別在意數論學家如何看待他的研究。他找到了一種能瞥見質數模式的方法。他說：「我覺得這很棒，這是一個衝擊。」

撰文：Natalie Wolchover

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