用洛必達法則來求極限，就像你用鉗子夾核桃一樣簡單

那些年

讓我們頭皮發麻的高數定理

上次，小天跟大家介紹了洛必達傳奇的一生後（傳送門），就有模友要求超模君講一下洛必達法則，好，今天超模君就翻你的牌，講講洛必達法則。

1.到底什麼是洛必達法則呢？

我們先打個不太準確的比方吧，我們把用鉗子夾核桃的過程比作洛必達法則，求未定式的極限相當於吃核桃仁，如果你不藉助鉗子的話，是很難吃到核桃仁的（呃，麒麟臂的除外），我們把核桃殼的兩部分當作未定式的分子和分母，用鉗子夾核桃殼相當於分別對未定式的分子和分母進行求導。

再學術一點來說，就是用求導的方法來求極限，不過，這種方法有一定的限制。

我們不妨設 h(x) = f(x) / g(x) ，若要用洛必達法則來求h(x)的極限，則需要滿足以下條件：

這些限制條件就好比鉗子的張角，因為太小而無法滿足大核桃的尺寸（好像有丶污......），這時就不能用洛必達法則求未定式的極限了。只有滿足以上的條件的式子，才可以用洛必達法則來求極限。

舉個栗子

上圖為f(x)=x-sin x 和 g(x)=x^3 的圖象，可看出 x - sinx 和 x^3 在x=0處可求導，(x^3)" ≠ 0 ,且它們的極限都為0，此時我們的主角--洛必達法則準備登場了，我們分別對未定式的分子和分母求導，就可以得到

然而這條式子還是求不出其極限，但是它符合使用洛必達法則的條件，接下來再用一次洛必達法則，可得，

我們求了兩次導還沒有求出這條式子的極限，但不要放棄哦，一而再，再而三，總會求出來的，再一次使用洛必達法則，得到（哇！求這麼多次導的嗎？？？），

這個極限問題就這樣被洛必達法則輕鬆解決了（表面輕鬆）。

洛必達法則在求極限中經常會被用到，並且在求某些極限時更加方便，簡單。我們都知道高數中有一個重要極限，

從上圖很容易看出 sin x / x，在 x=0 處的極限是1，這個極限用洛必達法則一下子就證明出來了，但是你有沒有想過不用洛必達法則證明呢？這麼說吧，你會證明得頭皮發麻的，下面我將會用洛必達法則和不用洛必達法則證明這個極限。

洛必達法則證明

洛必達法則的證明過程是多簡單，多帥哦，接下來看看不用洛必達法則的證明過程。

不用洛必達法則證

從上圖可以看出，在 x 趨近於0 時，則有 sin x

不等式同時除以 sin x ，可得

再取它們的倒數，就能得到

根據夾逼準則（就是那個最污的定理），可得

洛必達法則的證明只需要分別對不定式的分子和分母求導就可以了，但是不用洛必達法則，則需要構建一條不等式，整理不等式，最後用夾逼準則證明。兩者孰輕鬆方便孰麻煩費時，不用超模君來回答吧（愛折騰的陳同學請別回答，坐下，讓後面不愛折騰的李同學回答）。

2.0/0型未定式中洛必達法則的推導

超模君查閱許多書籍，瀏覽了眾多網站，發現了洛必達法則的證明大多數都是用下面這個方法證明：

這一堆枯燥無味的式子看得超模君頭皮發麻，都無法和模友們皮起來了。

超模君此時在想是否可以用圖象的形式將洛必達法則推導出來呢？這樣就可以和模友們high了。

超模君進入王者模式中......

洛必達法則可以看作未定式在某一點的極限等於兩個函數在這一點斜率的商。

所以我們需要構建兩個函數 f(x) 和 g(x) ，且經過 A (a , 0) , 點B、點C分別是f(x)、g(x) 上的一點，當B、C兩點越靠近點A時，曲線AB和曲線AC就越接近一條直線，這因為可微函數局部是線性，設k1、k2分別為 直線AC、AB的斜率。

那麼就有

對於A點附近的x，則有

整理一下，可得，

綜上的分析得出，

當 xa 時，f(x) 、g(x) 的斜率無限接近 f(a) 、g(a) 的斜率，即

這樣就證明了洛必達法則的0/0型未定式，接下來就是對∞/∞型未定式中洛必達法則的推導。

3.∞/∞型未定式中洛必達法則的推導

我們構建 f(x) 、g(x) 在點B趨近於無窮，令

那麼 h(x) 、u(x) 在點B趨近於0，此時，這個未定式變0/0型，因此∞/∞型未定式中洛必達法則的推導也完成了。

曾經被洛必達法則搞得腦殼疼的模友們，聽了超模君一頓嗶嗶後，大概有所感觸了吧。

本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容

部分資料來源於網路

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