玩轉數字、方程與幾何——在遊戲中邂逅「無字數學」
試卷在桌上鋪開，手裡轉著紅筆。老師的聲音忽遠忽近，粉筆嗒嗒地敲著黑板。你在大題的空白處寫下「解」，試圖追上老師的思路。卻發現，恍神間老師的板書又領先了大半塊黑板……
提起數學，這大概會是很多人曾有的痛苦經歷。不過，為什麼我們要如此懼怕數學？嚇到我們的，是數學本身，還是它的外殼？
每當影視劇想要塑造一個「數學家」形象時，都要把人擺到一塊平面前——黑板、屏幕、或者玻璃，然後無一例外地讓ta寫算式畫符號。因為這就是我們對「數學家」的刻板印象：擺弄符號的人。
然而，沒有一個數學家會說那些符號就是數學。真正的數學在他們腦子裡，他們玩的是觀念。不如想一想，那個沉迷dps算著暴擊的你，那個靠邏輯流發言控制全場的你，和那個在教室里被大半面板書嚇到的你，哪一次離數學更近？
數學，本應該是無字的。
然而現有學校的數學教育方式，卻很難將無字數學的觀念傳達給學生。思想必須以文字的形式印刷在課本上、或以語言在師生之間傳遞。學生很難有機會直接觸碰數學觀念。但是，遊戲正把無字數學變為可能。下面我要介紹的三款遊戲，分別把數字、方程和幾何概念變成了平板上與孩子交互的卡通形象。當數學褪下符號外殼，披上遊戲的華服，你是否還捨得拒絕它呢？
在操作中誕生數感
一個4歲的小女孩坐在地上，看著腿上的平板笑的開心。她正用手指拖著色彩鮮艷的小怪物「喂」到一條更大的怪物口中。伴隨著溫柔的女聲「one plus two, three!」，一條更高的怪物出現了。這就是啟發孩子數感的遊戲——DragonBox·Numbers。剛剛的怪物叫做「尼姆」（Nooms），在這個遊戲中有九隻。
在DragonBox·Numbers中，孩子可以隨心所欲地操縱尼姆：一隻尼姆張開大口吞下另一隻並長高——這就是加法；尼姆被攔腰截斷而分解——這就是減法。要是孩子想要感受數字的大小順序，ta只要給尼姆們「比個頭」就可以。所謂數感，是對於「數字代表的意義」、「怎麼運用數字」的一種直觀的理解。DragonBox堅信，數感是誕生於操作中，而非對數字的死記硬背。Numbers就是讓魔法誕生在指尖的神奇工具。
對尼姆的操作
2-7歲的孩子，正處於「見到什麼都想抓來玩玩」的階段，因為這是他們認識世界的方式——與具體的事物進行交互，看看自己能對它們施加怎樣的影響。在著名的皮亞傑理論中，知識產生於動作。而每當我們教小孩子知識的時候，都在妨礙他們自己進行探索。在啟蒙數感的方面，雖然小學的課本也使用了豐富的案例和圖畫，但遊戲顯然在交互性上更勝一籌。
除了在沙箱中自由操作尼姆，Numbers另提供了三個遊戲場景讓孩子有目的地運用數字。如用數字控制尼姆奔跑跳躍，避開障礙吃到星星；利用尼姆完成不同形狀的拼圖。可以看到這些場景從不同方面刻畫了數字：對數值的快速反應、數字的幾何意義。最有深意的是「梯子」，這個場景中孩子可以把尼姆們堆疊起來，去夠到不同高度的數字——數軸的概念就如此自然地通過一個遊戲中的梯子引入了。
我還記得小學裡的數學課上攥著半截中華鉛筆，迷茫地畫著「5」的半圓。老師說，要畫得格外圓、把方格都佔滿，才好看。而我的心裡卻想念著最愛玩的五子棋，那伴隨著勝利的五顆棋子連成一線。對於孩子，數字只在有些時候格外迷人。而利用遊戲，創造出孩子因為與數字互動而雙眼放光的時刻，讓這個時刻成為孩子與數學的初次相見，多好。
用即時反饋訓練解方程Huynh是一名數學老師，「當數學老師是個讓人失望的活兒，我可能只能教會百分之十的學生」，他這麼在採訪中說道。然而，當他發現頭腦不差的學生依然在學方程上栽跟頭，他開始反思是不是教育的方式出了問題。如何能更直觀地體現方程的思想呢？「沒有合適的教學工具，於是我就自己做了一個」——這就是後來屢獲大獎的DragonBox Algebra。
在DragonBox Algebra中，屏幕分成左右兩邊，四處散布著各種怪物：蜥蜴、魚、飛蛾……其中最特別的是一隻躲在盒子里的小龍。這隻小龍喜歡獨處，而玩家要做的就是通過操作其他的怪物，將小龍孤立在一邊，把其他怪物聚集到另一側。回想下我們解方程的步驟，自然可以聯想到，這隻孤僻的龍就是「x」。
遊戲的一開始，孩子要像「連連看」一樣，讓怪物與自己的「暗黑版本」合併，這是在強化「正負抵消」的概念；接下來出現了分號，要將同時出現在分號上下的怪物消去，即「化簡」……隨著章節的推進，有些怪物開始被氣泡或冰塊圍住——這就是括弧，孩子可以在操作中學到乘法分配律。前面的關卡中，孩子面對的是一隻只怪獸；玩到後面，怪物悄然變成了數字和字母，曾令人頭痛的方程就在眼前，但他們仍然可以樂此不疲。
在解方程式時最需注意的是在等式兩邊始終保持同樣的操作。多少次的考試，我因為「漏乘一個數」這種小疏忽而懊悔不已。但在傳統的學習方式中，我最多能得到延遲的反饋——一個紅叉，這並不是塑造解題習慣的最好時機。而遊戲的即時反饋能讓我們在出錯當場就得到糾正。在Algebra中，當我向左半邊放入一個怪物，那麼右半邊就立即多出一個框，等待著我把同樣的怪物填到裡面，否則就無法進行下去。這個機制就像一個安靜的數學老師陪在身邊，隨時指出我的錯誤，又不會讓我有挫敗感（遊戲中的反饋可比考試卷上的紅叉溫柔太多了）。
歐氏幾何一向是「甲之蜜糖，乙之砒霜」。學得懂的人，愛它的嚴謹和靈活。另一部分人則稱「永遠弄不明白要怎麼想」。其實，他們需要被引導，思考「為什麼這麼做」，形成策略。可惜的是，在學幾何時我們把精力放在背熟定理上，做幾何題時又花大量時間書寫模板化的證明過程。對文字與符號的強調越多，思維的自由空間越小。如果歐幾里得生活在當代，他會怎樣教幾何？
遊戲。幾何證明本身就像一個開放度很高的遊戲：在一個場景中，自由地運用各種規則達成某個目標。幾何直觀具體的特性也讓它格外適合用遊戲展現。這就是我要介紹的第三個遊戲——DragonBox Elements。
遊戲故事是召集形狀軍隊、打敗惡龍Osgard。在一關的開始，屏幕上有三個點，沿著它們畫出個三角形，於是三角形中心處的小怪物蘇醒了，彷彿在期待我繼續走下去。然後我發現，這三角形的兩條邊有同樣的顏色——這代表兩邊長度相等。於是我在兩條邊上各點一下，頓時，一股力量包圍住小怪物，把它升級成我需要的士兵——等腰三角形。遊戲的每一步都暗含幾何證明，利用角、邊、平行線、圓等關係證明出各種特殊形狀後，才能將原來的三角形、四邊形「點化」，打敗惡龍。
遊戲的開始集中在「教你認圖形」，而到了後面，證明的成分越來越多。為了得到一個正方形士兵，我得知道所需要的全部證據（四邊相等、直角），然後倒著推要如何才能得到這些證據，再看看目前已有的證據，思考如何把中間連上……你看，為了過關，我已經在做證明了。
從頭至尾，遊戲從來不用文字介紹知識，而是通過操作來強化規則。例如我必須先選中四邊形，再點擊它的四條相等的邊，才能證明它是菱形，憑直覺矇混過關是不可能的。在一次次的重複中，「四條邊都相等的四邊形是菱形」的概念被逐漸強化，這比把定理抄寫在本子上高明太多了。
這個遊戲還讓我想起一個教育學的研究（FT Hu et al., 2015）。研究者讓兩組孩子學習同樣的幾何題，不過一組按照要求用食指描畫例題中的圖形，而另一組要把手放在大腿上。在接下來的測試中，能用手指描畫的組學習效果明顯更好，也認為學得更輕鬆。可見，綜合運用觸覺、動覺，比單單「用眼睛學習」效果來得好。
Elements成功地調動了孩子的手指。更關鍵的是，它調動了孩子的興趣——相比於卷子上死氣沉沉的線條，這才是真正的、活起來的幾何。
縱觀三款DragonBox系列遊戲，其關鍵特徵在於對每項學習內容的精準把握與提煉，並將學習核心與遊戲機制完美的融合。Algebra的方程操作規則、Numbers的數字概念、Elements的幾何定理，與遊戲交互性強、即時反饋、直觀性強的特點融合在一起，讓人不禁喟嘆：不再躲在算式背後的數學原來這麼美。
隨著年級的增高，學生將完成從形象思維到邏輯思維、從具象思維到抽象思維的轉變，數學遊戲的輔助作用越來越弱。學生們終將獨自面對艱難的題海。但我願相信，這些在啟蒙時便把數學當做玩伴的孩子們，起碼會有挑戰困難的勇氣。
那個曾在方程課堂上屢受挫折的數學老師Huynh，現已成為教育軟體公司WeWantToKnow的創建者（我所介紹的DragonBox系列遊戲均出自它）。他說：「我特別喜歡一句話，預測未來的最好方式是把它創造出來」。
所以你看，水晶球和魔法棒都在我們手裡，那就讓未來發生吧。
【注】寫作本文是受到《遊戲改變教育》中「無字數學」章節的啟發，強烈推薦這本書。
參考文獻：
Hu, F. T., Ginns, P., & Bobis, J. (2015). Getting the point: tracing worked examples enhances learning. Learning and Instruction, 35, 85-93.
