提丟斯——波得定則是真的嗎？

周一·最新發現| 周二·牧夫專欄

周三·太空探索 |周四·觀測指南

周五·深空探測 |周六·特稿| 周日·天文周曆

提丟斯—波得定則是真的嗎？

—— 陳厚尊

所謂的提丟斯——波得定則（Titius Bode Law）是一套純粹的經驗關係，它起源於一個簡單的數學遊戲。為了說明它，我們首先給出如下一串數列：

0，3，6，12，24，48，96，192，……

這串數列的規律很簡單：除了前兩個數字0和3以外，後面的數字依次是前一個數字的兩倍。之後，我們為每一個數字加4，得到一串新數列：

4，7，10，16，28，52，100，196，……

再全部除以10，得到：

0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，……

如果你去查一下太陽系各大行星到太陽的平均距離（以天文單位AU為單位），你會得到水星為0.39，金星為0.72，地球是1（這是顯然的），火星是1.52，小行星帶散佈於2.17到3.64之間，均值為2.9，木星是5.20，土星是9.54，天王星是19.18……與上面數列的誤差均在百分之五以內！

事實上，早在十八世紀中葉，這套經驗關係就被一位名叫丹尼爾·提丟斯（Johann Daniel Titius）的中學教師發現，後被柏林天文台台長約翰·波得（Johann Elert Bode，見圖一）歸納成經驗公式發表。當時的天文學家只知曉水星、金星、火星、木星和土星五顆肉眼可見的明亮大行星，與上面的數列對比下來，波得發現在2.8的位置有個明顯的空缺。他猜測在距離太陽2.8個天文單位的位置上應該存在一顆「丟失的」大行星。天文學家聞訊熱情高漲，立刻響應波得的號召，搜索這顆未知的天體。然而十幾年過去了均一無所獲。直到1781年，英國天文學家威廉·赫歇爾在金牛座中意外地發現了一顆疑似是彗星的太陽系內天體。波得猜測它是一顆新的行星，並計算了它的軌道，發現它到太陽的距離與提丟斯數列上繼土星之後的下一項：19.6相吻合（天王星的軌道半徑約為19.2天文單位）。這便是太陽系第七大行星——天王星的發現。這更加使天文學家確信，在火星軌道和木星軌道之間，必定隱藏著一顆未知的大行星。二十年後，位於義大利西西里島的一處偏僻的天文台終於傳出消息：此台台長在進行常規觀測時，發現了一顆新天體，經過計算，它到太陽的平均距離是2.77個天文單位，與期待中的2.8極為近似。新天體被命名為穀神星（Ceres）。可是與其他大行星比起來，穀神星的個頭實在太小了，半徑只有473公里。筆者覺得此事應在意料之內，因為假如在這個位置上存在與地球體積相仿的大行星的話，它在沖日的時候應當肉眼可見。後來，天文學家在火星和木星軌道之間陸續又發現了許多圍繞太陽公轉的天體，個頭也都不大。如今我們知道，在提丟斯數列2.8的位置上沒有大行星，而是存在一條所謂的小行星帶，數以萬計的小天體散落其間。隨著天體力學的發展，天文學家逐漸認識到小行星帶的存在並非偶然。太陽和木星是太陽系內的引力主導天體，兩者的引力撕扯作用使得提丟斯數列2.8的位置上並不具備大行星的形成條件，所以就留下了數不清的大行星「邊角料」。

圖一 柏林天文學家約翰·波得

他曾計算天王星的軌道，並且以希臘神話中的天神烏拉諾斯（Uranus）命名了天王星。另外，他還發現了著名的M81星系，因而該星系被稱為「波得星系」

接下來便是勒威耶（Urbain Le Verrier）在「筆尖」上發現海王星的傳世佳話了。勒威耶是法國數學家、天文學家，天體力學功底格外紮實，又工於計算。他憑藉天文觀測所得的天王星軌道擾動，反推出了一顆新行星（海王星）的軌道參數，因此名聲大震，時年僅35歲。但是，新發現的海王星似乎是提丟斯——波得定則的一個反例，它並不在數列所預言的38.8的位置上，而是要近許多（它到太陽的平均距離只有30.11天文單位），誤差達到了五分之一。鑒於海王星所具有的龐大體積和質量，很難質疑它的大行星地位，因此，天文學家只好將堅持了八十年的提丟斯——波得定則扔進歷史的垃圾桶。

實際上，除了太陽系的大行星系統以外，天文學家還在成員數目較多的氣態行星的衛星系統中發現了與提丟斯——波得定則類似的經驗規律。以木衛系統為例，在天文望遠鏡的低倍視場中，這裡像極了一個微縮版的「太陽系」。1610年，伽利略使用自製的折射望遠鏡第一次發現了圍繞木星公轉的四顆大衛星，它們從內到外依次被命名為艾奧（木衛一）、歐羅巴（木衛二）、加米尼德（木衛三）和卡利斯托（木衛四）。1892年9月9日，又一顆木星的衛星阿馬爾塞（木衛五）被著名的美國天文學家愛德華·巴納德依靠目視發現。木衛五的軌道在木衛一之內，非常靠近木星。

天文學家發現，若給出如下一串數列：

0，12，24，48，96，……

先在每個數字上加10，然後再除以10，所得到的新數列：

1.0，2.2，3.4，5.8，10.6，……

恰好與以木衛五為基準單位，木衛五、木衛一、木衛二、木衛三、木衛四到木星的平均距離相吻合。類似地，在土衛系統、天衛系統和海衛系統中也都存在這樣的「類提丟斯數列」，當然，也同時存在許多如海王星這樣的反例。其中一些反例可以用「後期俘獲說」來解釋，另一些則不能。如何解釋這一現象呢？

圖二 哈勃望遠鏡拍攝的土星、土星環和環縫

中間最粗的環縫即為卡西尼縫，外側細一些的稱為恩克縫

天文學家猜測，這也許是軌道共振現象（Orbital Resonance）在太陽系的長期演化中所留下的痕迹。所謂軌道共振，是說當兩個天體的公轉周期之比為有理數時，會出現周期性的引力作用，就像盪鞦韆時不斷在同一個位置施加推力，長此以往產生積累性影響，從而導致軌道的不穩定。軌道共振導致軌道不穩定的一個最佳實例來自土星環（見圖二）。當視寧度（Seeing）好的時候，即使是小型天文望遠鏡也能在土星環中看到一條黑色的縫隙，這就是土星環中最寬的卡西尼縫，最早由義大利天文學家卡西尼發現。它將土星環分成了A環和B環。那麼卡西尼縫是怎麼來的呢？原來，在土衛系統中，有一顆長得像《星球大戰》里「死星」的衛星：美馬斯（又稱土衛一，見圖三），它雖然只是土星的第七大衛星，卻是大個頭的衛星里離土星最近的一個，因此也影響到了土星環的形狀。天文學家發現，卡西尼環縫中的天體的軌道周期恰好是美馬斯軌道周期的一半，也就是說，卡西尼環縫中的天體與美馬斯形成了1:2的軌道共振關係，所以是不穩定的。

圖三 土衛一美馬斯

回到提丟斯——波得定則的問題上來。我們注意到，構造這種「類提丟斯數列」的出發點往往是一組等比數列，其公比是2或者3。這意味著，在提丟斯——波得定則所刻畫的衛星或行星系統中，相鄰兩個成員間的軌道半徑有個近似的等比關係（比如木星到太陽的距離差不多是火星的兩倍，土星又是木星的兩倍，等等）。讀者不妨回憶下高中數學的相關內容，等比數列的通項公式本質上是個指數函數。另一方面，根據開普勒第三定律，行星公轉軌道半徑的三次方與公轉周期的平方之比是個與行星無關的常數。因此，受提丟斯——波得定則約束的行星系統，其任意兩個成員之間的公轉周期之比都不太可能是有理數，自然也就不存在軌道共振關係。不過，真正的邏輯應該是反過來的，即，太陽系早期的數個大行星胚胎在公轉過程中相互影響，主要是依靠軌道共振相互推擠，逐漸清空了共振軌道附近的小天體，最後只留下了在提丟斯數列所指示的位置附近的大行星候選者。照此看來，提丟斯——波得定則存在反例就不奇怪了，因為它並非脫胎於某個嚴格的物理定律，說到底也只是解決軌道共振不穩定性的一個方案而已。換句話說，只要各大行星間的軌道不存在共振，當前的布局就能穩定存在下去，不一定非要嚴格遵循定則所指示的位置。

圖四 熱木星的藝術想像圖

問題就此解決了嗎？當然不是。事實上，關於提丟斯——波得定則的起源，至今並沒有一套令人信服的物理圖像，以上解釋也僅僅是個假說而已，許多細節都似是而非，難以自圓其說。尤其是進入二十一世紀以來，得益於開普勒衛星的發射以及數據分析手段的進步，天文學家幾乎在一夜之間就「井噴般」發現了空前數目的系外行星，其中既有體積龐大的類木行星，也有大小與地球相仿的類地行星。有的恆星近旁還發現了不止一顆行星。如此一來，天文學家就有了許多樣本來檢驗提丟斯——波得定則的普適性。的確，有的系外行星系統似乎也遵循著類似於提丟斯——波得定則的分布模式，但更多的行星圍繞恆星公轉的軌道其實是五花八門，毫無規律可言的。更有甚者。天文學家還在許多恆星的近旁發現了體積堪比木星的巨行星，此類行星有個形象的別稱：熱木星（Hot Jupiter，見圖四）。熱木星的存在嚴重挑戰了傳統的行星形成理論，自然，天文學家以此為基礎提出的提丟斯——波得定則的形成假說也都面臨崩塌的危險。目前來看，行星遷移機制（Planetary Migration）是解釋熱木星存在的唯一合理的假說。至於提丟斯——波得定則是否能與行星遷移機制掛上鉤，則更是未知中的未知。

責任編輯：解仁江

牧夫新媒體編輯部

本賬號系網易新聞?網易號「各有態度」簽約賬號

『天文濕刻』 牧夫出品

微信號：astronomycn

Lenticular clouds over Antarctic

（ 南極上空的萊狀雲/透鏡狀雲 ）

via David Schultz

打賞通道

謝謝閱讀

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！