為什麼物理量的單位總是由基本單位的冪相乘得來的？

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圓形似乎並不是那麼完美

考慮某顆星球，它由某種密度均勻的物質組成，其質量為 M ，體積為 V 。如果這顆星球是一個球體，那麼它的半徑 R = ((3V) / (4π))1/3，星球表面上的重力加速度則為 g = GM / R2 = GM((4π) / (3V))2/3，其中 G 是萬有引力常數。

考慮這顆星球所有可能的形狀，怎樣的形狀才會讓星球表面的某一點重力加速度達到最大？最大值是多少？

下圖就是讓表面某處的重力加速度達到最大的星球形狀。這個圖形是一個稍微有些變形的球體，整個圖形是一個以 z 方向為軸的旋轉體，頂端的 m 點即是重力加速度最大的點，它的重力加速度為 g = (4/5)(15/4)1/3π2/3M / V1/3，只比球形星體的重力加速度大 2.6% 。

這是又一個經典的例子——圓形似乎並不是那麼完美。

這個問題的解法非常漂亮。

首先，假設我們想要讓星體表面上的某個點 m 的重力加速度最大，並且所受重力方向在 z 軸上，那麼這個星體必然是沿 z 軸方向對稱的。否則，取出不對稱的一層，把多的部分填進少的部分讓它變成一個完全對稱的圓盤，這將會讓 m 點在豎直方向上的受力變大。不斷這樣做直到這個圖形沿 z 軸完全對稱，顯然就得到了一個更優的形狀。

接下來的步驟就真的神了。

現在，在星體上取一個非常細的圓環，假設它的質量是 dM 。那麼，這個圓環所貢獻的重力加速度大小就是 G·dM·cosθ /r2 。如果把這個圓環從星體中挖掉，放到其它的位置上，那麼新的圓環將會有新的 r 值和 θ 值。當整個形狀達到最優時，這個形狀將位於「極值點」的位置，也就是說它的「微分」為 0 ，任何微小的變動都不會改變 m 的加速度。這就意味著， cosθ / r2 是一個常數。這個條件就確定出整個星體的形狀。

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為什麼光總是沿著光程處於駐點的路徑傳播

Fermat 光程最短原理指出，光從 A 點到 B 點，總是沿著最快的路徑傳播。這一神奇的定律一下子就把直線傳播定律、反射定律、折射定律統一在了一起。

不過，後來我們知道了，更一般的描述應該是，光總是沿著光程處於駐點的路徑傳播。為什麼會加上這一條？有沒有光程極大的例子呢？

這裡有一個例子。考慮橢圓內的兩個焦點 A 、 B ，和橢圓上的一點 M 。顯然，不管 M 取在哪兒， AM + BM 都是相同的。

現在，在橢圓內部畫一條曲線，這條曲線與橢圓相切於 M 點。然後，擦掉原來的橢圓，把這條曲線視作鏡面。顯然， AMB 仍然是一條反射光線，但從其它地方反射，光程都會小於 AMB 。 AMB 是一個光程極大的路徑。

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如何秒殺無窮電阻問題

有一個無窮大的正方形網格，每條小線段都是 1Ω 的電阻絲。求相鄰兩點間的等效電阻阻值。

這個問題有一個很妙的解法。

假設一個大小為 1A 的電流從紅點處流入，從各個無窮遠處流出。由對稱性，有 (1/4)A 的電流將會流過紅藍兩點之間的線段。

現在，再假設一個大小為 1A 的電流從各個無窮遠處流入，從藍色點流出。由對稱性，紅藍兩點之間的線段仍然有 (1/4)A 的電流。

把兩種情況疊加在一起看，大小為 1A 的電流從紅點進去從藍點出來，那麼，紅藍兩點間的線段就有 (1/2)A 的電流。因而，兩點間的電壓就是 (1/2)A·1Ω = (1/2)V 。所以兩點間的等效電阻就是 (1/2)V / 1A = (1/2)Ω。

說到無窮網格電阻的問題，我們有說不完的話題。這個問題本身的擴展非常之多。例如，我們可以把問題擴展到 N 維的情形：N 維無限電阻網格中，相鄰兩點的等效電阻是多少？利用同樣的方法可以得出，答案就是 1/N。

回到二維情形，如果我們換一個擴展方向，改問對角兩點間的電阻，上述分析方法就不行了。而這個加強版問題的答案也更加玄妙：兩點間的阻值為 (2/π)Ω。大家可以在網上很多地方查到這個加強版問題的解法。

xkcd（https://xkcd.com/356/）有一個經典漫畫，形象地描繪出 nerd 們被數理趣題折磨的感受。當然，這幅畫本身也折磨了不少人，網上湧現出大量對這個問題的討論。

還有一種經典的無窮電阻問題：一個向右無窮延伸的梯子形網格，每條線段都是 1Ω 的電阻，求兩點間的等效電阻。

問題的解法非常漂亮。假設我們要求的答案是 R，則 R 可以看作是三個 1Ω 的電阻串聯，然後把一個阻值為 R 的電阻（也就是它本身）與中間那個 1Ω 電阻並聯所得。於是得到等量關係 R = 1 + 1/(1+1/R) + 1，解得 R = 1 + √3。

還有一些經典的求電阻問題。其中一個問題是，一個正方體的 12 條棱上各有一個 1Ω 的電阻，求距離最遠的兩個頂點之間的等效電阻。 2007 年 10 月份 IBM Ponder This（https://www.research.ibm.com/haifa/ponderthis/challenges/October2007.html）的題目則是，分別考慮五種正多面體，如果每條棱上各有一個 1Ω 的電阻，則相鄰兩頂點的等效電阻是多少？巧妙地利用對稱性，這幾個問題都可以迅速被秒殺。

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關於物理量的單位的深刻問題

物理量的單位總是由基本單位（質量、長度、時間等）的冪相乘得來的。比如，能量的單位就是 1J = kg·m2·s-2。

為什麼沒有什麼物理量，它是由基本單位通過更複雜的形式導出的？比如說，為何沒有什麼物理量，它的單位是 sin(kg)·log(m) ？

這是一個非常有趣，無疑也是非常深刻的問題。它讓我們開始認真思考一個看上去很不像問題的問題：什麼是物理量？什麼是物理單位？我們需要去挖掘物理量和物理單位的最基本、最本質的性質。

網站上的標準答案是，只有這種形式的導出單位才能保證，在不同的單位制下，得到的導出單位是等價的。

具體地說，物理單位的作用就是用來描述，當各個基本單位的尺度變化以後，這個物理量會發生怎樣的變化。

比如說，密度單位是質量除以長度的三次方，就表明如果質量擴大到原來的 2 倍（或者說單位量變成了原來的 1/2 ），長度擴大到原來的 4 倍（或者說單位量變成了原來的 1/4 ），那麼這個物理量將會變成原來的 2/43 = 1/32 。

現在，假設某個物理量的單位是質量的正弦乘以長度的對數。

按照國際標準單位制，這個單位是 sin(kg)·log(m) 。

假如單位換成了 sin(g)·log(cm) ，那麼這個物理量將會變成原來的 sin(1000)·log(100) ≈ 3.80792 。

再繼續換算成 sin(mg)·log(mm) ，物理量應該繼續變成原來的 sin(1000)·log(10) ≈ 1.90396 。

但是，如果從 sin(kg)·log(m) 直接變到 sin(mg)·log(mm) ，物理量應該變成原來的 sin(1 000 000)·log(1000) ≈ -2.41767 ，這就和前面的結果矛盾了。

利用一些微積分知識可以證明，如果一個合成物理單位不會出現這樣的問題，它必然是基本單位的冪的乘積的形式。

不過，這個解釋並不能讓我十分滿意。各位模友怎麼看呢？

本文由超級數學建模編輯整理

節選自

http://www.matrix67.com/blog/archives/4372

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