數學界兩大巨頭一直吵個不停的創世發現，竟然這麼容易搞懂

同一條高數定理

兩個不同的命運

01

到底是誰發現了微積分

1666年10月的某一天。

牛頓在研究如何根據物體的速度求物位移的問題中，發現了微積分，並提出了微積分的基本定理，還用這種方法求出曲線與坐標軸圍成的面積。

但是當時牛頓並沒有公開發表他的研究，只是在一些英國科學家中流傳。

到了1675年，德國的數學家萊布尼茨也發現了微積分，他竟然也和牛頓一樣，沒有公開自己的研究成果。

不過兩年後，萊布尼茨首次發表有關微積分研究論文，這也是歷史上第一篇正式發布的微積分研究論文，在這一篇論文中明確陳述了微積分基本定理。

作為數學界的兩大巨頭，他們一開始並沒有去爭奪微積分的發現權。

就在1699年，有個瑞士人跑出來，指責萊布尼茲的微積分是抄襲牛頓的，牛頓才是第一個發現微積分的人。而萊布尼茲對其進行了反駁，事情也慢慢平息下來了。

而到了1704年，牛頓完整地發表了他的流數術，詳細地介紹微積分的計算原理及規則，但是後來出現了一條匿名評論，說牛頓的流數術是抄襲萊布尼茲的微積分。

一時間，科學界就炸開了鍋，誰才是微積分發現第一人的問題都成了大家所關注的問題。

1711年，英國皇家學會為了讓「微積分發現者」的榮耀留在英國，不斷地打壓、指責萊布尼茲，這位天才最後也只能含恨而終。

後來世人為了還給萊布尼茲一個公道，將那條微積分的基本定理命名為牛頓-萊布尼茲公式。

02

微積分到底講了什麼

首先，還是得先翻翻課本，溫習一下牛頓-萊布尼茲公式：

把 f(x) 當作一個導函數，對這個導函數進行定積分，就等於這個的導函數的原函數在x=b 和 x=a 處函數值的差。

呃，好像說得有點複雜了，還是打個比方吧。

將牛頓-萊布尼茲公式看作母雞孵雞蛋，f(x) 就是雞蛋，F(x)就是母雞，公式的前部分對 f(x) 進行定積分相當於母雞孵蛋，而後部分當作母雞孵蛋的開始時刻到結束時刻的間隔。用牛頓萊布尼茲公式求定積分，就是在計算母雞孵雞蛋的時間。

怎麼說，這樣應該更好理解吧!

來，來，超模君用個栗子來說明一下。

從定積分的幾何意義來解答這道題目是最簡單的，不過我們先用牛頓-萊布尼茲公式解決這個問題。

OK，我們要計算這個雞蛋（ f(x)=x ）的孵化時間（求定積分）。要孵雞蛋首先要找一隻母雞（ F(x) ），找到母雞後，就可以孵雞蛋，算時間。

不難看出[ (1/2)·x2 ]"=x，OK，母雞找到了，那我們開始孵...，不是，不是，是讓母雞開始孵雞蛋吧。

看起來牛頓-萊布尼茲公式還是挺簡單的，不是嗎？

唯一比較難的應該就是如何找到那隻母雞了（原函數F(x)）。

那如何快速地找到那隻母雞呢？

超模君給你推薦個好辦法，那就是認真做題。

如果還沒聽懂，那就來更簡單的，求函數 f(x) 與x軸和兩條垂直於x軸的垂線所圍成的面積。

（抱歉，那成雞腿了）拿剛才那個栗子說吧。

上圖的陰影部分S的面積就是 f(x)=x 在[1,2]的積分，即

現在我們嘗試用定積分的幾何意義計算這個定積分。

陰影部分S正好是一個梯形，那麼就有S=(1+2)×1×(1/2)=3/2，跟用牛頓-萊布尼茲公式算出的結果一致。

03

微積分到底有什麼用

簡化定積分的計算

現在求定積分基本上都是用牛頓-萊布尼茲公式，但是你想想，若沒有牛頓-萊布尼茲公式的話，將要如何求定積分呢？

超模君現在展示一下定義法求定積分，以下題為例，

一般定義法求定積分分為四步：分割區間，以曲代直，求面積，求極限。

分割區間：我們先把題目的積分區間[0,1]分割成n等分，那麼每一等份長度x=1/n

以曲代直：當積分區間分得無限小時，每一等份可以看作一個長方形，那麼第i個長方形的面積Si=f(x)i·x=xi·(1/n)

求面積：

求極限：

或許會有模友說，這道題不是可以用定積分的幾何意義算嗎？的確是可以，但是你們想想，不是每一個被積分函數的圖象和坐標軸形成一個規則的圖形，更多時候它們是不規則的。

如果用牛頓-萊布尼茲公式的話，就十分簡單，原函數是(1/2)·x2 ,那條定積分就等於（1/2）×（12- 02）=1/2，不需要太多複雜的計算。

簡化定積分的計算可以快速算出曲線的長度和立體的體積，在生活中也有廣泛的應用，如計算壩體的填築力量，材料的消耗量。

物理學中的應用

都說物理離不開數學，這是有道理的。很多數學定理都應用到物理中，牛頓-萊布尼茲公式也不例外。

在學習高中物理時，想必大家也學過速度對時間的定積分就是位移，一個物體的運動速度不斷發生變化，求它一段時間的位移是很難的。

但你用牛頓-萊布尼茲公式求速度對時間的定積分的話，問題就非常簡單了。

還有在計算變力沿直線做功和物體之間的萬有引力都用到牛頓萊布尼茲公式。

牛頓-萊布尼茲公式的發現，將微分及積分實現了完美的可逆運算，成為中世紀數學發展大革命中一個璀璨的成果。而這樣的革命，似乎都留在歷史故事中，難以再出現。

本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容

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