數學史話之從天元到四元朱世傑
今天我們來說說宋元數學四大家的最後一位--元代數學--家朱世傑。宋元時期的數學是繼承漢唐而來，但是也有其自身特點，主要表現為：表述體系的邏輯化、思想方法的抽象化。這是之前的中國數學所不具備的，因此，宋元時期的數學是我國古代數學史上繁榮的頂點，在宋元之後，中國古代數學再無開創性的人物和成果。隨著明清兩代皇權的不斷擴大，專制制度的不斷加深，八股取士的確立，都對於自然科學是一種摧殘，因此，中國古代數學逐漸走向了沒落。一直到清末，被堅船利炮轟開國門之後，才又開始了睜眼看世界，西學東漸，中國數學才又開始了新的征程，然而時間已經過去了500年。而這500年正好是西方數學綻放異彩的500年，而對於我們來說，卻是失落的500年。
朱世傑在13世紀末的時候出生在燕山（現在的北京），字漢卿，號松庭。他從未當過官，一生都以數學研究和教育為事業，傳說他到揚州的時候，"踵門而學者雲集"。他一生最大的貢獻就是創造了一套完整的消未知數方法，稱為四元消法。另外還創立了一般的高階等差級數求和公式及等間距四次內插法公式，後者通常稱為招差術。他的代表著作包括《算學啟蒙》和《四元玉鑒》，後者代表著宋元數學的最高水平。
《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，全書共三卷，20門，總計259個問題和相應的解答。這部書從乘除運算起，一直講到當時數學發展的最高成就"天元術"，全面介紹了當時數學所包含的各方面內容。但是後來曾經一度在國內失傳，明清兩代的學者只知其名，並未見過這本書。不過好在這本書在流行的時候，遠傳朝鮮和日本，對當地的數學產生了非常大的影響。後來到了清嘉慶年間，朝鮮人到中國才發現中國已經沒有了這本書，就根據朝鮮國內的順治十七年的版本，重新雕版印刷，中國這才又重見《算學啟蒙》。
算學啟蒙
朱世傑的另一本傳世傑作就是《四元玉鑒》，共三卷，24門，288問，介紹了朱世傑在多元高次方程組的解法--四元術，以及高階等差級數的計算--垛積術、招差術等方面的研究和成果。在之前的文章中，我們介紹過天元術。天元術是只有一個未知數的方程，而朱世傑在天元術的基礎上推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，並且創造了一套完整的消未知數方法，稱為四元消法。他把常數項放在中央（即"太"），然後"立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上"，"天、地、人、物"這四"元"代表未知數，(即相當於如今的x、y、z、w，)四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其它各項放在四個象限中。列出四元高次方程後，再聯立方程組進行解方程組，方法是用消元方法解答,先擇一元為未知數，其它元組成的多項式作為這未知數的係數，然後把四元四式消去一元，變成三元三式，再消去一元變二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元開方式，然後用增乘開方法求得正根。這是線性方法組解法的重大發展，在西方，較有系統地研究多元方程組要等到16世紀。
四元玉鑒
在四元術之外，高階等差級數求（垛積法）和與高次內插法（招差法）也是《四元玉鑒》的重要內容。朱世傑發展了沈括的隙積術，楊輝的堆垛術，郭守敬的平立定三差法，他對於一系列新的垛形的級數求和問題作了研究，從中歸納為"三角垛"的公式，實際上得到了這一類任意高階等差級數求和問題的系統、普遍的解法。朱世傑還把三角垛公式引用到"招差術"中，指出招差公式中的係數恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。在"招差法"方面，朱世傑給出了明確的招差公式，這個要比西方早了400多年。
招差術
《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數學名著，是宋元數學集大成者，也是我國古代水平最高的一部數學著作。現代數學史研究者對《四元玉鑒》給予了高度評價。遺憾的是，朱世傑之後，元代再無高深的數學著作出現，漢唐宋元的數學著作很少有新的刻本，很多甚至失傳了。乾隆三十七年開《四庫全書》館時，挖掘了不少古代數學典籍，朱世傑的著作卻未被發現，因此，並沒有被編入。1799年阮元、李銳等人編纂數學家傳記《疇人傳》時，也未介紹《四元玉鑒》。一直到清末，才又在揚州重新刊印出版了朱世傑的兩本著作。
