笛卡爾與解析幾何

解析幾何，又叫坐標幾何，或笛卡爾幾何，是運用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題的一門數學。通常，使用二維或三維的直角坐標系，建立點與實數對之間的一一對應關係，以及曲線與方程之間的一一對應關係。

1637年，笛卡爾在其著作《方法論》的三篇附錄之一「幾何學」中提出了解析幾何的基本方法。這種方法對幾何學來說是革命性的。首先，使用代數技巧來解決幾何問題，這意味著數與形統一起來了，代數方法與幾何方法第一次真正結合了。其次，數學家們有了一種選擇，可以將幾何學視為代數學的一個分支了。而這個革命性的新進路據說是由一隻蒼蠅引發的靈感，這則軼事在齊斯·德福林的《數學的語言》一書中有記載。

眾所周知，笛卡爾身體虛弱，容易生病，非常喜歡躺在床上。1619那個寒冷的冬季，對數學興趣正濃的笛卡爾，躺在床上翻來覆去地思考問題時，一隻在天花板上爬行的蒼蠅引起了他的注意。注視著這隻蒼蠅爬來爬去，笛卡爾領悟到它在任一時刻的位置，都可以用它那一時刻與兩面垂直牆面的距離來確定。就這樣笛卡爾找到了用代數方程描述蒼蠅的爬行路徑的方法，同時也找到了一種表現直線和曲線的新方法。這種代數方法，雖然完全不同於古希臘人所提出的幾何論證，但卻不會將幾何研究變成代數課題，也就是說結果依然是幾何，只不過是利用代數技巧來研究形狀的模式而已。

我們知道，科學主要是通過替代來發展，而數學主要通過沉澱而成長，但解析幾何的建立雖然也是站在巨人的肩膀上，不過這些巨人距離笛卡爾的時代有些遠，正如博耶教授所說：「乃是由一次試圖回歸過去的努力所激發的。」要記得，《幾何學》只是笛卡爾的《方法論》中的一篇附錄。而笛卡爾最重要的影響，除了建立了解析幾何，就是對方法論的反思了。

在17世紀那個新舊知識交替的時代，為了在一片混亂中求得確定性，笛卡爾開啟了「普遍懷疑」的模式，並把目光轉向了他所擅長的數學。笛卡爾想要建立一種普遍數學，把代數、幾何、算術統一起來。正是在這種「追本溯源」的「普遍」模式下，笛卡爾注意到了帕普斯的三線或四線軌跡問題。所謂的「三線或四線軌跡問題」也就是說，給定一個平面上的三條直線（或四條直線），求出點P的軌跡，它與其中一條直線的距離跟它與另外兩條直線的距離之積成比例（或者，在四條直線的情況下，它與其中兩條直線的距離之積跟它與另外兩條直線的距離之積成比例）。其實，三線或四線軌跡不僅充當了發明解析幾何的起跑點，而且，從歐幾里得到牛頓，它都在數學中扮演了一個重要的角色。

圖片來自《數學史》

雖然笛卡爾建立了解析幾何，但解析幾何的迅速發展卻主要是通過荷蘭的數學家——弗蘭斯·范·斯霍滕（1615-1660）——及其他的弟子才得以發生的。笛卡爾的《幾何學》最初是用法文，而不是當時學者的通用語言拉丁文寫成的，雖然一切有學問的人都可以通讀，但是要知道，笛卡爾是天才，他無法體會別人在理解他那些新且深奧的思想上所遇到的困難，尤其是他的闡述並不清晰。

當斯霍滕在1649年出版拉丁文版的《幾何學》，並加入了一些補充材料，這些障礙才被克服。另外，斯霍滕的兩卷本的《笛卡爾的幾何學》在1659-1661年出版，內容上有了極大的擴充，其中收錄了著名的荷蘭省三級議會大議長讓·德·維特（1629-1672）在1658年撰寫的《曲線原理》。這是一部對解析幾何貢獻非常廣泛的作品。「作品的目的是要通過坐標軸的平移和旋轉，把所有以x和 y 為未知數的二次方程簡化為公認的形式。他知道如何根據所謂的判別式究竟是負數、是零，還是正數，來識別這樣一個方程所描繪的曲線是何時是一個橢圓、拋物線、雙曲線。」（《代數史》 P403）

其實，笛卡爾闡述不清晰的不僅是解析幾何，還有「身心二元論」。正如蘇炳森老師所說，這是笛卡爾給我們帶來的「第二個災難」。蘇老師說「雖然笛卡爾給人的感覺是上帝中心論，認為上帝是一切知識的保障，但他方法的開端是「我思」，也就是說從一開始人就是中心。儘管笛卡爾是天主教的背景，把上帝放在第一位，但他已經開啟了人的優先性，所以，其本質上還是自然神學，得出的還是一種單純的、不變的、抽象的、思維上的上帝，與托馬斯·阿奎那差不多。」所以，就像德國神學家潘能伯格所說，笛卡爾就成了「一種人類中心主義的、建立在「我思」之上的哲學的創始人。」 （ 《神學與哲學》 P174）

另外，笛卡爾給人類帶來的第一個災難就是他的數學性的方法論。帕斯卡爾曾抨擊笛卡爾的數理邏輯，斥之為冷冰冰的，僅僅適合於「幾何人」。有趣的是帕斯卡爾也是一位數學天才，12歲時就表現出了非凡的幾何才能，16歲就發表了《略論圓錐曲線》，這本小冊子僅一頁，但卻是歷史上最富有成果的書頁之一。但是在他30歲時，帕斯卡爾經歷了一次宗教狂喜，就放棄了科學和數學，轉向神學，並寫出了《鄉巴佬書信》和《思想錄》。

圖片來自《數學大迷思》

的確，邏輯是比較確定的個人性思考，數理邏輯就更強調簡單和清晰，如果用於數學上是很好的，比如四維及以上維度圖形的數學研究。就像《數學的語言》一書中所說，在心靈中從一個三維模型重建一個四維圖形是非常困難的，要得到像超立方體等四維及以上物體的數據，你就不得不放棄可視化的企圖，而最可靠的方法是使用坐標代數。當然這不只是一個智力遊戲，它在現實世界有很好地應用的。像今日工業中廣泛使用的計算機程序，就是這種研究的直接結果。

但是，一旦把這種數理邏輯推而廣之，就危險了，畢竟自然萬物給我們的意象並不是簡單的，清晰的，反而是豐富多彩的，裡面更多的是一種審美的，詩性的韻律。而笛卡爾的方法論恰恰就是要用這種數理邏輯取代古典的語文性的文法邏輯和修辭。由此，就像蘇老師所說，教育的敗壞就開始了。在教育中，將一切簡單清晰化，其實就是把一切美的東西剝掉了，而與之同被棄掉的還有上帝的榮耀和愛。久而久之，我們所教出的學生就成了路易斯所說的「無胸之人」。

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