數學史話之艱難中發展的明清數學——清代中前期數學
明王朝覆滅之後，女真人入主中原，經過一番大混亂，天下終於安定了下來，而數學也在這種由亂入治之中艱難發展。從清王朝定鼎中原到鴉片戰爭爆發，兩百年間，也湧現出了一些成績斐然的數學家，他們中有的還是世代數學家。今天科普君就來聊聊這些對中國數學做出了貢獻的數學家們。
第一個是來自安徽宣城的梅文鼎家族，梅氏家族從梅文鼎的父親梅士昌開始研究象緯、坤輿、陰陽、律歷、陣圖、兵志、九宮、三式、醫藥、種樹之書，反正沒有一本是可以用來科舉的。明亡後，梅士昌專門研究《易經》，著有《周易麟解》一書。
梅文鼎出生在明崇禎六年（1633年），此時距離明亡只有11年時間，因此，梅文鼎在他童年和少年的時候，主要就是跟隨他的父親學習《周易》，並對天文、曆法特別感興趣。他在前人的基礎上寫出了《古今曆法通考》58卷，後經增補成70餘卷。曆法的制定，天象的描述從來都需要用到數學原理，因此梅文鼎為研究天文曆法的需要，對數學也進行了深入的研究。康熙十一年（1672年），梅文鼎的第一部數學著作《方程論》誕生。在那個年代，由於中國古代數學的日漸式微，西方傳教士們帶來了當時的西方數學，蔑視中國傳統文化。因此，梅文鼎以《方程論》為發軔之作，開始向當時的西方數學提出了挑戰。雖然如此，他本身並不排斥西方數學，梅文鼎說：去中西之見，以平心觀理。這個態度非常重要，一直到現在，還總是有很多人心存"中西之見"，並不能"以平心觀理"。梅文鼎在發掘整理中國古算的同時，潛心研讀《幾何原本》等西算書籍，力求會通中西演算法，他把所著26種數學書合稱《中西算學通》。梅文鼎的《筆算》、《籌算》和《度算釋例》分別介紹西方的寫算方法、納皮爾算籌和伽利略比例規。他研究了正多面體和球體的互容關係，訂正了《測量全義》中個別資料的錯誤，獨立研究了他名之為"方燈"和"圓燈"的兩種半正多面體。他又引進了球體內容等徑小球問題，並指出其解法與正多面體和半正多面體構造的關係。他在《方圓冪積》中討論了球體與圓柱、球台及球扇形等立體的關係。梅文鼎還根據他研究的三角學，著有《平三角舉要》和《弧三角舉要》介紹其基本性質、定理和公式，另有《塹堵測量》和《環中黍尺》這兩部分別藉助多面體模型和投影法來闡述相關演算法的優秀作品。《勾股舉隅》為梅文鼎研究中國傳統勾股算術的著作，是對勾股定理的證明和對勾股算術演算法的推廣。其中"弦與勾股和求勾股用量法"一題中所用的尺規作圖之方法，與《》中"勾股求容圓"相比較，梅文鼎在尺規作圖的概念已相當正確，顯示梅文鼎對《幾何原本》有相當深的了解。
梅文鼎
梅文鼎因其出色的數學、歷算成就而獲得了當時皇帝康熙的召見，兩人曾多次徹夜交談曆法心得。梅文鼎與當時朝中的一些大臣也交往密切，但他本身並無一官半職。
梅文鼎的兩個弟弟梅文鼐和梅文鼏也精通數學和天文學，梅文鼎的兒子梅以燕，孫子梅瑴成、梅玗成，曾孫梅鈖、梅釴、梅鉁、梅鈁、梅鏐、梅釒彧，玄孫梅沖都曾深入研究數學，並作出了相當的貢獻。梅氏家族五代人子承父業、代代相傳，致力天文歷算研究，在中國數學史上並不多見，在世界數學史上也是很罕見的。
與梅文鼎同時的，曾經跟梅文鼎一起討論中外數學難題的還有一位數學家，他叫方中通。他是安徽桐城人，與梅文鼎是大同鄉。方中通是明末復社四公子之一的方以智的次子，曾經因為父親方以智的關係而被清廷通緝，後來逃到廣東恩平以教書為業。方中通從小喜愛數學和天文學，曾經學過元代郭守敬的《授時歷》，後來又跟隨西洋傳教士學過西方數學。方中通的主要著作是《數度衍》，包含了諸多學者的思想和論述，是集體研討的產物。在書中保存了徐光啟所翻譯的《幾何原本》的節本，並且首次論及了對數的概念。"九九圖說"是方中通重要的數學成果之一，它給出了各類縱橫圖的一般性定義。
在梅文鼎和方中通之後，中國又出了一個蒙古族數學家--明安圖。明安圖在青年時代就以欽天監官學生的名義參加了天文演算法巨著《律歷淵源》的編纂工作。明安圖在工作中運用了嚴密的邏輯推理，思路清晰，方法嚴謹，他一共提出了九個基本方程，列出三角函數和反三角函數的冪級數表達式，並且計算出展開式的各項係數，為三角函數和反三角函數的解析研究開闢了新的途徑。明安圖在數學研究上的這一豐碩成果在中國數學史上佔有重要地位，被清朝學者稱為"明氏新法"、"弧矢不祧之祖"。
明安圖
明安圖當時研究數學的目的主要是因為他所從事的天文曆法工作跟數學是密不可分的，數學是進行天文曆法工作和研究的工具。明安圖根據當時西方傳教士帶來的三個無窮級數進行研究，"積思三十餘年"，發現和創立了超越當時世界科學水平的六個新公式：弧背求通弦、弧背求矢、通弦求弧背、正矢求弧背、矢求弧背、正弦求弧背。將西方傳入的三個級數公式加上他自己發現的六個公式統稱為"明氏九術"。實際上這些公式都是研究弧、弦和正弦之間的相互關係的問題，在證明這九個公式的過程中，明安圖又創出四個公式：余弧求正弦正矢、餘弦余矢求本弧、借弧背求正弦餘弦；借正弦餘弦求弧背。總稱割圓十三術。明安圖的割圓木，是採用連比例的歸納方法來證明的。由此推算就可得：十分弧，百分弧，千分弧，萬分弧，以至"析之至於無窮"。這種思想很明顯是和西方微積分有同等意義的。明安圖所發現的無窮極數和收斂極數的數學思想，是在世界數學史上一次較早的記錄，與歐拉差不多同一時期。
在明安圖之後，有錢塘人項名達。項名達在明安圖的割圓十三術的基礎上作出了"橢圓求周術"，這個結果和現在中學課本"微積分初步"中求平面曲線弧長的微積分方法一致。項名達所著作的《象數一原》的主要內容是論述三角函數冪級數展開式問題。他在寫作此書時已經年老病重，因此只完成了整分起度弦矢率論、半分起度弦矢率論、零分起度弦矢率論、諸術通詮、諸術明變等幾個部分，其中零分起度弦矢率論下卷和諸術明變是由他的好友戴煦（清代的另一位數學家）在項名達去世後補寫完成的。項名達在書中對全弧與分弧所對的弦的關係以及全弧和分弧的中矢（即該弧所張的弓形的高）問題進行了討論和歸納，最終得出兩個公式：設Cn和Cm分別為圓內某弧с的n倍和m倍弧長，Vn和Vm分別為相應的中矢，r為圓半徑，則有
項名達的另一項成就則是算出了橢圓周長公式：設p為橢圓周長，e為橢圓離心率，a與b為橢圓長半軸與短半軸。則有
他還據此推出圓周率倒數公式
項名達與戴煦還共同討論求二項式n次根的簡法，在《開諸乘方捷術》中提出了冪指數為 1/n的二項式定理以及用逐次逼近法開n次方的遞推公式
在戴煦完成《象數一原》的內容編纂後，當時的江蘇巡撫徐有壬（也是一個數學愛好者）曾經向戴煦索要書稿，準備付梓。但是當雕版剛刻完的時候，正值長毛亂起，徐有壬死於長毛之亂，雕版和書稿統統都遭到戰火的焚毀。
