二次函數壓軸題換個思路茅塞頓開

二次函數壓軸題換個思路茅塞頓開

拋物線的確定

平面直角坐標系中，三個不同的點，必須同時滿足以下兩個條件：

1、不在同一直線上；

2、過任意其中兩點的直線不與y軸平行（或橫坐標不能相同）。

利用拋物線的確定方法，我們可以更輕鬆解決類似二次函數不經過某個點的問題，只須將上述條件反過來理解，便可以得到解決此類問題的模型：

若要拋物線不經過某個點P，第一步先確定圖像上另兩個點A、B，證明這個點P在直線AB上，顯然解法是將點P坐標代入直線AB解析式；第二步是比較點P與點A、B的橫坐標，與它們的橫坐標之一相同，解法是等量關係列方程。

題目

如圖，RtAEO和RtBFO關於直線y=-x成軸對稱，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（1，2）和B兩點．

（1）直接寫出B點坐標；

（2）分別用含a的代數式表示b和c；

（3）若對任意非零實數a，拋物線y=ax2+bx+c都不經過P（t，t2+1），求出直線AP的函數解析式。

解析：

（1）利用對稱性得B(-2，-1)；

（2）將A（1，2）和B（-2，-1）代入y=ax2+bx+c中，分別得到a+b+c=2和4a-2b+c=-1，解得b=a+1，c=1-2a；

（3）拋物線不經過點P（t，t2+1），題目條件中拋物線上已經確定的兩個點是A、B，於是可以得出，點P一定在直線AB上，或與點A、B橫坐標相同。

點P在直線AB上，先求出直線AB解析式為y=x+1，將P（t，t2+1）代入，解得t=0或1，而當t=1時，求得的P點坐標與A重合，於是捨去，從而得到P（0，1）

點P的橫坐標與A、B相同，當t=1時，前面已經討論過它與點A重合，不符合；當t=-2時，得到P（-2，5）

綜上所述，符合條件的點為P（0，1）或（-2，5）

曾經我們採用的方法是將點P坐標代入拋物線解析式，得到含參數的方程，通過研究方程的解的情況來判斷拋物線是否經過，計算量較大，技巧性很強，學生理解起來也困難，而採用這種方法，不禁讓人有茅塞頓開的感覺，原來拋物線不經過某點的解決方法如此簡單。

變式題

有興趣的老師或同學們，大可用上述方法嘗試一下：

練習：拋物線C1：y=2x2+mx+m過定點M，其頂點P坐標為（p，q），將點M繞原點逆時針旋轉90°得到點N，拋物線C2：y=ax2+bx+c經過點M、N.

(1)填空:M（_____，_____）N（_____，_____）；

(2)用含p的代數式表示q；

(3)當拋物線C1與線段OM恰有兩個交點時，試確定m的取值範圍；

(4)若無論a、b、c取何值，拋物線C2都不經過點P，請求出點P的坐標.

本文方法來自彭同洲老師，一位在解題教學中浸淫已久的數學老師，他在看了之前《拋物線不經過平面上某個點的解決之道》後，專門在QQ上與我交流了此類問題的解法，認為我先前的解法太過於繁瑣，於是提出了上面的解法，在此對彭老師表示衷心感謝！

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