萊德曼、希爾：什麼是對稱？
對稱性無所不在。對稱性在自然界中有無數表現形式。對稱性是藝術，音樂，舞蹈，詩歌和建築學中的一個決定性要素，並且經常處於中心或關鍵地位。對稱性貫穿於所有科學的領域，在化學，生物學，生理學和天文學中擁有突出地位。對稱性遍佈於物質結構的內部世界，宇宙的外部世界，和數學自身的抽象世界中。物理學的基本定律，關於自然我們所知的最基礎的陳述，都是基於對稱性發現的。
當我們還是孩子的時候，我們就從我們的經驗中發現了對稱性。我們看到它們，聽到它們，我們還經驗到具有特定對稱關係的事態和事件。在花瓣中，在放射性形狀的海貝，一隻蛋，大樹的樹枝，樹葉的脈絡，雪花，或海邊看到的海天交接的地平線中我們都可以看到優雅的對稱性。我們看到月亮和太陽，它們具有理想對稱的碟子的形狀，以顯然完美對稱的圓形軌跡划過夜晚或白天的天空。在鼓聲中，在一首歌簡單的音調序列中，或在一隻鳥的鳴叫聲中，我們也能聽到對稱性。我們在時間中，在機體的生命周期中見證著對稱性，同樣季節也有對稱性，年復一年各個季節會有規則地來臨。
人類數千年以來都把對稱性本能地等同於完美。古代的建築師把對稱性應用於設計和建造。不管是一個古希臘的神廟，一個法老幾何形狀的陵墓，或一個中世紀的大教堂，它們代表的都是一種「上帝」願意居住的地方。在古典詩歌中，比如在《伊利亞特》，《奧德賽》，和《埃涅阿斯紀》這樣的偉大作品中，作者使用對稱的抒情調來讚美女神或掌管傳說和歌曲的繆斯們。一首大巴赫管風琴賦格曲，迴響在大教堂的椽子中，聽起來散發出一種數學的對稱性，好像是從天堂的穹窿傾瀉下來的一樣。對稱性激發人類的情感，就好像在連續的海洋的地平線上看到日落的情景。我們平時在周遭世界中感受和觀察到的對稱性使我們確信在萬事萬物的背後確實存在嚴格的秩序和和諧。通過對稱性，我們感覺到在宇宙中存在著明顯的邏輯在發揮著作用，外在於我們，但能夠與我們的心靈發生共鳴。
當學生們被要求去定義對稱性的時候，通常他們的回答都是正確的。關於「什麼是對稱？」我們會聽到這樣一些回答：
它就像等邊三角形的所有邊的邊長都是一樣的，或者說它們的角都是一樣的。
相互間成相同比例的事物。
在不同角度下看起來相同的事物。
物體的不同部分看起來是一樣的，比如我們的眼睛和耳朵。
這些大多是對稱的視覺印象。但我們也發現這裡包含著一個更抽象的概念：我們發現「相同」是所有這些定義中共同的要素。實際上，一個更一般的關於對稱的定義是這樣的：
對稱：名詞。事物之間等效性的一種表示。
對稱性與最基礎的數學概念——等價——關係密切。當兩個事物是一碼事，或者用數學的語言說，是相同的，我們就說它們相等，並使用一個無所不在的符號「=」來表示。這樣對稱性就是事物間相等關係的表示。這裡事物可以是不同的對象，也可以是一個對象的不同部分。事物也可以是一個對象在不同階段的表現，即在我們對它做一些事情之前和之後。
一個物理系統可以是任意簡單粒子，比如一個原子，或很多粒子的一個複雜組合，比如一個分子，一個火箭，一個人，一架飛機，乃至整個宇宙，它們的運動都遵循物理學規律。實際上，只要我們使用物理方法分析，沒有什麼東西不是物理系統。說一個物理系統具有某種對稱性是說我們對系統做一個改變，在改變之後，系統與改變前完全一樣。我們稱我們對系統的改變為對稱操作或對稱變換。如果系統在變換後保持不變，我們說系統在變換下是不變的。
所以，科學家會這樣定義對稱性：對稱是一個對象或一個系統在一個變換下的不變性。不變性指系統在形式，外表，組分，排列等方面保持同一或不變，變換指的是我們對系統施加的抽象操作，它使系統由一個狀態轉變為另一個狀態，一個等價的狀態。通常我們有無數操作可以把給定系統由一個狀態轉化為一個等價的狀態。
幾何對稱性的一個簡單例子是上釉前的中國花瓶。如果我們把花瓶放在桌子上，讓花瓶旋轉任意角度（比如37.742……°），不論是它的構成還是它的外觀都沒有任何變化，旋轉前和旋轉後花瓶的照片完全一樣。假想穿過花瓶的中心垂直於桌面有一條假想的直線，花瓶圍繞這條直線旋轉任意角度都不變，我們管這條線叫對稱軸。這使我們相信我們關於對稱性的數學定義與我們的感官經驗以及感性經驗一致，對稱性在這裡提升了花瓶在形式和形狀上所具有的美感。
##音樂中的對稱性
現在讓我們設想一些熟悉的，但並非視覺經驗中的對稱性。正如我們前面強調的，對稱性無所不在，它貫穿於藝術，包括最宏大的藝術形式，音樂。
西方音樂在巴赫的年代逐漸超越了早期的巴洛克風格，早期巴洛克音樂繼承自文藝復興時期，形式上相對簡單。屬於新時代的音樂逐漸呈現出來，在音樂中有了更多的激情，感性內容，和情緒——德語為Affekt。而且，音樂的形式，結構，風格也在經歷演化。
巴赫（1685-1750）
1700年，巴赫是個十五歲的男孩，他贏得了呂訥堡的米歇爾學校的獎學金，這個城市位於今天德國北部的城市漢堡大約30英里。巴赫的獎學金包括免學費和免食宿，並允許他作為成員加入教堂唱詩班。作為唱詩班成員，巴赫除在主日禮拜的時候表演，還參加婚禮，葬禮，和其他各種節日活動的表演。在唱詩班中他唱最高音，但幾年後，他的獎學金到期了，並且他也不能作為學生再留在唱詩班中了，因為他開始變聲了。
呂訥堡為年輕的音樂生提供了激動人心並且多樣化的音樂和智力生活。這裡巴赫第一次碰到新的「對稱」風格的作曲，這種結構的音樂最早是由那個時代的法國作曲家，如弗朗索瓦·庫普蘭發現的。通過這些作曲家，音樂變得更加人性，個人，微妙，和不確定，音樂就其結構和形式而言越來越代表人們的日常活動，比如求婚儀式上的舞蹈。並且，正如在舞蹈中一樣，音樂也獲得越來越多的對稱性。
一個簡單，規則的鼓點是一個重複的節奏，這是一種時間上的對稱。鼓點的節奏度量我們在時間上的相同間隔。根據我們對對稱性的定義，鼓點之間的相同間隔就是不變性，隨著時間的流逝事物在改變，這就是操作或變換。生理學中心跳的對稱是另外一個例子。所以，心律失常是一種不對稱。鼓點代表心臟的跳動，是生命的節奏。而音樂則是由鼓點的節奏演化而來。
早期的曲子一般包括一個旋律，我們可以稱之為X，它會在一個給定的鍵盤上反覆被演奏，不斷重複自身。比如僅比巴赫早四分之一世紀的約翰·巴哈貝爾，他積極投身於18世紀對音樂語彙的擴張，他創作了著名的流行作品——巴哈貝爾的卡農。巴哈貝爾的D大調卡農向我們展示了早期巴洛克音樂的對稱。卡農採取了一個主旋律的形式，包括和弦進程D-A-Bm-F#m-G-D-G-A，在一個連續的幾乎是鐘點式的步調中不斷重複自身，並富於聰明的變化和誘人的修飾，比如不同的聲音進入，退出，以及和聲。
當然，這種形式並沒有什麼問題，實際上現代作曲家仍然使用這種形式激發人們情感的微妙變化，比如上世紀拉威爾的波萊羅舞曲，這是一個能激發起事件穩定向前情緒的卡農，並最終結束於一個高潮。但在巴赫的年代，音樂才剛剛開始演化出更複雜的對稱樣式，代表著最初的複合曲式的形式。這樣的作品包括被稱為樂章（movement）的結構，這個詞是對舞蹈的模仿，舞蹈本身就是對自然中見到的各種動作的模仿。這些樂章包括阿勒曼德，庫郎，薩拉邦德，基格和賦格，這些名詞本身就是當時流行舞蹈的名字。在作曲中，這些樂章遵循一套嚴格的規則，這些規則定義了它們對稱的樣式。
現在，第一個樂章X，主旋律，用主音——作曲的核心——寫成，它能夠改變，或變調為屬調（比如，C大調的主調可以變為G大調）。後面跟著第二個樂章，Y，它將是屬調中同一主題的組成部分，並轉回主調（在我們的例子中，G大調將轉回C大調結束）。這樣的XY，或兩重的形式，在結構上還可以擴充以包括其他形式，比如XXYY，被稱為重複的兩重形式。後來的形式，比如貝多芬發明的鋼琴奏鳴曲——維也納快板奏鳴曲風格——是這些基本對稱樣式的推廣，這裡Y可以是X在一個相關調上的重奏而非屬調，可能是某個相對的小調（例如，如果X是在C大調主調上的演奏，那麼Y將是X在A小調上的重奏），Y通常會包括對主題X的變奏。
巴赫吸收了這些新概念，但他給音樂注入了比這裡介紹的式樣更多的對稱。在巴赫作曲的很多樂章中包含有對稱的部分，存在於所謂的樂節和半樂節中，它們有類似的反映並模仿作品結構對稱性的式樣。進一步可以在巴赫的作品中發現另一個標誌性的特徵，前面曾提到過的被稱為反覆的技巧，即在音樂的X部分和Y部分中使用類似的基於相同主題的小節，但音調的序列相反。個別音樂樂節作為對稱組分構成了更大綜合物的一部分。作為整體，這些對稱組分構成了一個層級結構，它們具有不同時間和空間尺度上的多樣性。
聽眾在第一次聽巴赫的音樂的時候經常無法把握巴赫的作品；在我們能夠理解這些神奇作品的內部世界之前，這需要耐心，往往需要多聽幾次，這裡的複雜層級結構需要翅膀和不斷上升才能達到。當我們開始理解的時候，我們感到正在經歷一個新的複雜的宇宙，一個被內在邏輯和對稱性定義的宇宙，它的樣式被不斷揭示出來，層疊不窮。音樂超越了演奏它的樂器。巴赫的音樂在蘆笛和電子合成器上與在古鋼琴和巨型管風琴上都同樣完美。最終定義音樂結構的不是特定的樂器，而是音樂自身的內在結構以及它們產生的整體的情感。
##球形的地球
對稱性給我們的創造力插上翅膀。它為我們的藝術衝動和思想提供了組織原則，它是我們為理解物理世界而提出的各種假設的源泉。現在讓我們來討論另外一個極好的例子：發現地球是球形的。這並沒有等到第二個千年，等到哥倫布或麥哲倫及第一次物理地環繞地球航行一周。麥哲倫完成了對這一理論的「證實性試驗」（儘管他本人並沒有堅持到航行結束，他在一次失敗的向菲律賓當地人傳播基督教的過程中死掉了）。早在古希臘時期，地球就已經被古希臘的數學家們知道是球形的了，就像天空中的月球和太陽一樣，他們甚至還能測量地球的直徑。
古希臘人注意到地球有時會擋住射到月球上的陽光，這會導致月食。通過觀察在月食期間地球在月球上面的陰影，他們可以看到地球是一個球形的實體，就好像月亮和太陽一樣。
埃拉托色尼（276-194 BC）
埃拉托色尼，古希臘學者，古代著名圖書館，埃及的亞歷山大里亞圖書館的館長，在公元前240年左右知道在亞歷山大里亞的南面有一個城市叫做賽因，那裡有一口很深的水井。在夏至的那一天，即一年中白天最長的一天——6月21號——的正午，由於陽光被賽因深井底部的井水反射，我們有短暫的時間可以看到太陽的完整圖像。這說明，此時太陽正好通過賽因的正上方。埃拉托色尼還注意到，這一天，在他的家鄉亞歷山大里亞，位於賽因北面的800公里（500英里），太陽並不垂直通過城市的正上方。換句話說，太陽並不通過天頂，天空中正上方的一點，此時太陽位於和天頂方向夾角為大約7度的方向上。埃拉托色尼認為，亞歷山大里亞和賽因的天頂方向相差了7度。通過一些基本的幾何運算，埃拉托色尼得出結論地球的直徑是12800公里（8000英里）。
我們今天知道，地球的真實直徑，由於地球是橢球形的，取決於你從哪裡測量它，這意味著，通過赤道量要比通過兩極量大一些，而且地球上還有高山，潮汐，等等，這需要我們去取一個「平均值」。地球的平均赤道直徑是大約12760公里（7929英里），而通過兩極的平均直徑是大約12720公里（7904英里）。這意味著埃拉托色尼以驚人的精度正確地推出了地球的直徑，假設地球是個球的話，他的誤差達到了小於1%。這在當時是驚人的科學成就。
當然，事實上，正像前面所說，地球並不是一個完美的對稱球，就像我們在理想的抽象幾何極限下討論的。球對稱只是我們對行星形狀的近似，這個形狀是由物質聚集的動力學過程決定的，在引力的影響下，形成一個大的固體球。但由此就推論說，比如認為地球是被一個神聖的手創造出來並符合一個宗教的「完美球體」的信仰體系的觀點是錯誤的。
對稱性可以是一個有力的工具，即便它僅僅是對現實的一種近似。但我們人類經常犯錯誤，我們會假設某些事物具有嚴格的對稱性，但實際上這個對稱性只是個虛幻或者只是某些其他東西的偶然後果而已。這就是托勒密的地心說所犯的錯誤，它與宗教一起保持了一個半千年的權威地位。理想的圓和球的對稱性被認為是具有神性的，它們是上帝的設計，這意味著它們只能如此，體現為行星，太陽，月亮，和恆星的圍繞以地球為固定中心的軌道運動上。
確實，在行星的運動中存在著對稱性——但這種真實的對稱性是隱藏的，其深奧超越了那個時代任何人的想像。約翰尼斯·開普勒的聰明堅毅使他發現了描述行星圍繞太陽運動的正確原則。這些原則看起來令人失望，並不完美，與球對稱和幾何學的要求相距甚遠。儘管如此，它們啟動了人類歷史上最偉大的智力旅程，從伽利略到牛頓到愛因斯坦，最終揭開的是大自然中最深刻和最深奧的對稱性的面紗。
##數學和物理學中的對稱性
數學家已經發展了一種思考對稱性的系統方法，它很容易掌握並且應用起來很有成效。這個近乎神奇的主題被稱為群論。它最初是由法國數學家伽羅華開創的，雖然他的人生是悲劇性的，並且很年輕（20歲）就因與人決鬥死了，但伽羅華為這種思考方式奠定了基礎。
伽羅華（1811-1832）
群論是關於對稱性的數學語言，而且它在研究自然的基礎結構中發揮重要作用。它決定我們所知的力並且是理解全部基本粒子動力學的組織原則。確實，在現代物理學中對稱性概念也許是所有概念中最重要的一個。我們現在知道對稱性原理決定物理學的基本定律，決定物質的結構和動力學，並且決定了自然界中的基本的力。自然，在其最基礎的層次上，是被對稱性定義的。我們現在所擁有的這幅圖景，是逐漸被建構起來的，大部分工作完成於20世紀，迄今仍未完整。但我們已經有足夠多的拼圖碎片使我們確信對稱性是這幅圖景中最基礎的。對稱性的抽象概念及其與物理世界的聯繫是經得住考驗並值得保留的。
在20世紀新物理學的喧囂中是人類有史以來最偉大女數學家艾米·諾特的清苦甚至有些悲劇的一生。諾特的學術訓練來自於德國的哥廷根大學，那個時代智力宇宙的中心。在哥廷根，她和那個時代最偉大的數學家希爾伯特一道工作，並且她的工作深深地影響了愛因斯坦。那個年代女性科學家是很少的，特別是缺少那些具有領導性地位的女性科學家，諾特在學術工作中發揮著領導性作用的同時自然會承受那些與她女性身份相伴的非議，並最終見證了歐洲文明的崩潰（二戰爆發）。她突破了在當時人看來是幾乎不可能的障礙成為大學中的講師，後來僅僅因為是猶太人而被大學解聘。她傷心地與朋友和同事們告別，從此與他們再未見面，最後她在賓州的布林·莫爾大學（Bryn Mawr University）度過了人生的最後幾年。
諾特（1882-1935）
在哥廷根，諾特因為她關於數學基礎結構的研究而聞名。並且，她曾短暫涉足理論物理學領域，證明了一個關於自然的不同尋常的數學定理。諾特定理是一個深刻的陳述，也許它和已經深入我們心智結構的著名的畢達哥拉斯定理一樣深刻。諾特定理把對稱性和物理學直接聯繫了起來。它提供給我們描述關於自然的現代概念的框架並決定了現代科學方法。它直接告訴我們對稱性是如何決定我們這個世界的物理過程的。對科學家而言，它是指導我們揭示自然秘密的指引，因為它們深入物質結構的最底層，探索著空間中最微小的距離和時間中最短暫片段。
為了這個任務科學家們建造了人類有史以來最強大的顯微鏡。它們是巨大的加速器，包括費米實驗室的萬億伏特粒子加速器（Tevatron）和位於瑞士日內瓦的大型強子對撞機（LHC）。萬億伏特粒子加速器在一個大圓中沿相反反向加速質子和反質子，達到一萬億電子伏特，然後這些粒子再頭對頭髮生對撞。質子和反質子中的夸克和反夸克會發生碰撞，物理學家會對它們「拍照」得到碰撞的「照片」並以此來研究在最短距離內物質的結構，這個距離相當於我們把一個籃球和冥王星的軌道相比！這樣的碰撞將揭示關於物質的基本構成及決定它們如何行為的基礎物理學定律。我們發現這種行為是由對稱性所規定的。
通過研究在微小距離上的物理學，我們發現自然界中的各種力會逐漸融合併共享一個相同的性質，這種現象是我們在低能物理中看不到的。今天我們知道這種融合，或統一，各種基本力的統一，在它的背後是有一個單一的，精巧的對稱性原理作為基礎的。這個原理，叫做規範對稱，是微妙的。以此為武器，科學家現在可以思考宇宙剛剛開始創生的時候。融合了夸克，輕子和基礎的規範力後，我們有了現代的宇宙學。
統一的規範不變的對稱性原理的發現使我們對最微小距離的認識發生了巨大的一躍，我們在理論上可以研究比今天最強大粒子對撞機所看到距離還要再小一千萬億倍的距離。這也使得我們有能力去想像宇宙剛剛創生的第百萬分之一的十億分之一的十億分之一的十億分之一秒時候的情況。這個時候量子引力就必須考慮了，空間和時間開始破碎，我們對現實的普通概念開始瓦解。此時我們必須通過對稱性原理（相關的數學概念還有拓撲，研究表面的可能的形狀和形式）去理論地構象最終會出現的各種力的統一。
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