洞悉方程解的密鑰：e指數信號
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06-02
如何求解微分方程？
這一問題的近代史始於1748年歐拉對震動弦的研究。弦的每一點，在每一時刻的垂直偏移位置u(x,t)的變化規律滿足波動方程：
我們可以觀察弦的實際運動，直觀的看到這個方程的解！如果用照相機對弦進行照相，我們就得到了在t0時刻的解u(x,t0)。
這些解的震蕩模式均為x的正弦函數，並呈諧波關係。
這是否意味著所有微分方程的解就是正弦函數的組合呢？經過假設解的形式是
，確實可以驗證對於波動方程是正確的。從中可以看到正弦函數的兩次求導仍然是正弦函數。
我們求解微分方程的方法，是先假設解（輸出信號）的形式，然後再確定參數。這個解的形式具有一個特點：求導後，函數的形狀不變。因為只有這樣，這個信號才能從微分方程中約去。
微分方程對解信號的約束是每個時刻都有效，只有求導形式不變的信號，才能在方程中約去。注意，這裡約去的是信號，而不是一個數值。微分方程是一個非常強的約束。
人為構造的函數：ex對自變數求導仍然為其自身（e=2.7183……）：
信號est對時間的導數就是sest,只不過在原來信號的基礎上乘上一個復常數。
est本質上是正弦函數，這個洞見由歐拉提出。
歐拉公式：
結論：微分方程是一個很強的約束，解基本形式就是est。微分方程的解只能是est的線性組合。
