體驗探索過程，感悟數學思想——《神奇的莫比烏斯帶》教學設計
大家好！我是深圳市寶安區寶民小學數學老師劉鋼，是餘映濤老師主持的「北師大版小學數學教材數學思想方法的提煉梳理與實踐研究」課題組成員。曾在區級小學數學教師面授培訓活動中執教《比賽場次》；在寶安區「百位教師曬好課」活動中執教《生活中的比》，該課被選作2018年寶安區「小學數學教育教學技能遠程培訓課程」學習課例。
【課前思考】
《神奇的莫比烏斯帶》是北師大版六年級下冊「數學好玩」（綜合與實踐）的內容，由於該課新穎獨特，深受孩子們喜愛。同時，本課操作量大，步驟繁多，給教師駕馭課堂及把握教學進程帶來一定的挑戰。
「數學好玩」之所以好玩，並不僅僅因為它活動多，而是因為學生在經歷探索過程中有數學思考，從而感受到數學的無窮魅力。
因此，在本課教學中不能只讓學生簡單地做一做、剪一剪了事，否則與上成一節手工課沒有兩樣，而應該更富有數學味，讓學生在做環、驗環、剪環的過程中經歷猜想、驗證、歸納等環節，既要豐富學生的數學活動經驗，還要讓學生有一定的思想感悟。
結合以上分析，本人作了如下教學設計：
【教學目標】
1.動手操作，驗證交流，經歷探索和認識莫比烏斯帶的過程，積累數學活動經驗。
2.學會將長方形紙條製作成莫比烏斯帶，初步體會莫比烏斯帶的特徵。
3.在數學活動中經歷猜想與探索驗證的過程，感受莫比烏斯帶魔術般的神奇變化，感受數學的無窮魅力及探索研究的策略，進一步激發學生學習數學的興趣和好奇心。
【教學重難點】
認識並製作莫比烏斯帶，並探索剪開它的簡單規律。
【教學準備】
多媒體課件、剪刀若干、製作莫比烏斯帶的紙條若干。
【教學過程】
一、激趣引入。
出示「什麼是周長」一課的情境圖。
這一課中螞蟻和我們學習了什麼數學知識？今天，小螞蟻又要帶我們一起來學習。
【設計意圖】
通過三年級「什麼是周長」一課的情境，利用孩子們熟悉的小螞蟻迅速遷移到新課的探究活動中來。
二、探究新知。
（一）經歷過程，探究規律。
1.巧設疑問，學、做普通環。
（1）螞蟻沿直線往前爬能吃到麵包嗎？
（2）麵包在螞蟻的後面，按圖1的方法能吃到麵包嗎？
（3）螞蟻沿直線往前爬怎樣才能吃到麵包？
【設計意圖】
簡單的問題，採取「一問一答」的教學方式，讓學生明確螞蟻和麵包雖然在同一平面內，但麵包不在螞蟻的前方，從而啟發學生做出一個普通環。
2.懸念再生，學、做莫比烏斯帶。
（1）如果麵包在紙條另一端的背面，做剛才的紙環螞蟻還能吃到麵包嗎？怎樣做能讓螞蟻吃到麵包呢？
學生拿紙條試做莫比烏斯帶。在試做的基礎上用視頻演示做莫比烏斯帶的方法，保證每個孩子都能做出一個莫比烏斯帶。
（2）螞蟻沿這樣的環爬行，真的能吃到麵包嗎？有什麼辦法能驗證你的想法？
引導鼓勵學生畫出螞蟻爬過的痕迹進行驗證。在學生獨立驗證的基礎上播放畫線驗證視頻，進行方法指導，從而讓每個學生都能畫線驗證自己做的環。
3.總結特徵，板書課題。
像這樣的環，「沿一條線不停往前畫，能將紙條的正反兩面都畫到。」早在1858年德國數學家莫烏斯就發現了，由於該環的神奇特點，數學界就用莫比烏斯這個數學家的名字來命名這個環，叫做莫比烏斯帶(圈)。
【設計意圖】
通過「怎樣讓螞蟻吃到麵包」這一問題的引領，讓學生充分思考，提出有價值的創意，在此基礎上親身經歷製作莫比烏斯帶的過程，並通過「畫出螞蟻爬過的痕迹」直觀感受莫比烏斯帶的特徵，感受數學的力量，發展學生的應用意識。
4.兩環對比，體驗神奇。
（1）剪普通環。
將一個普通環沿2等份線剪開會得到什麼？沿三等份剪開呢？
學生口答，教師演示證明。
（2）猜、剪莫比烏斯帶。
①猜一猜。
將莫比烏斯圈沿2等份線剪開會是什麼情況？
學生充分表達自己的猜想。有的猜可能會得到兩個圈，有的猜一個圈，有的猜一根紙條……
②剪一剪、畫一畫。
學生拿出之前做的莫比烏斯圈獨自剪環驗證猜想。
教師板書結論：1個大圈
追問：剪出來的大環是否是莫比烏斯帶呢？
學生畫線驗證，得出結論：否
③比一比。
沿3等份線將莫比烏斯帶剪開與沿2等份線剪開會一樣嗎？猜是什麼情況？
小組內合作，沿3等份線剪開並畫線驗證剪到的環是否是莫比烏斯帶。
小組彙報結論:將莫比烏斯帶沿3等份線剪開，得到一個大環套一個小環，大環不是莫比烏斯帶而小環是莫比烏斯帶!
板書：1大、否，1小、是。
【設計意圖】
通過分別剪普通環和莫比烏斯帶，進一步體驗猜想與驗證的過程，感受莫比烏斯帶的神奇之處，從而激發學生進一步探索的興趣，為後期分組驗證鋪墊。
5.組間合作，揭示規律。
提出問題：莫比烏斯圈沿4等份、5等份、6等份……剪開會是什麼情況呢？這裡面會不會有什麼規律呢？
（1）出示要求，組內分工。
實驗要求：
①兩人合做莫比烏斯帶，驗證剪出來的圈。
②另一人記錄驗證的結果。（寫「正」字）
③剪斷已驗證的圈，由第四個人保管。
④繼續驗證，直到剩下最後一個圈。
（2）視頻演示，方法指導。
播放7等份實驗視頻，避免孩子們因實驗方法不當造成右上圖情況。
（3）分組實驗，感悟規律。
組間分別做4等份或5等份或6等份實驗，小組彙報結果後，請學生直接推測出7等份實驗的結果，教師板書實驗結果及學生推測的結果。
4等份實驗:2大、否，0小、是；
5等份實驗:2大、否，1小、是；
6等份實驗:3大、否，0小、是；
7等份實驗:3大、否，1小、是。
追問：你們為什麼這麼快就能說出結果？
學生可能說出如下規律，只要合理都應予以肯定。
7等份實驗可以看成2等份實驗與5等份實驗結果之和!
實驗等份數除以2得到的商即不是莫比烏斯帶的大圈數量，而餘數即是莫比烏斯帶的小環數量。
……
（4）視頻驗證，檢驗規律。
播放7等份實驗結論視頻，肯定學生得出的規律，鼓勵大膽猜想與嚴格驗證。
【設計意圖】
通過分組實驗，合作交流，進一步增強孩子們的數學活動經驗。使學生進一步體驗猜想與驗證環節，並順利得出剪開莫比烏斯帶的簡單規律。而視頻驗證環節的運用則更傾向於規律的驗證，同時也使課堂有了前後呼應。
（二）回顧過程，感悟策略。
教師引導學生回憶整個研究過程，引導學生用關鍵詞總結數學方法。
板書：猜想、驗證、記錄、發現（規律）
【設計意圖】
通過回顧過程，使學生進一步感悟數學研究的策略即：大膽猜想、嚴格驗證、詳細記錄、合理歸納，最終有所發現。
（三）聯繫生活，講授應用。
依次出示下圖，請學生說說莫比烏斯帶的具體運用。
1.可循環利用的標誌。（生生不息、循環利用。）
2.莫比烏斯造型的體育館。（創意）
3.莫比烏斯形狀的傳動帶。（兩面都磨，更耐用。）
4.莫比烏斯狀輪軸。
【設計意圖】
該環節意在豐富學生的生活經驗，提高學生的應用意識。明白數學來源於生活回歸於生活的道理。
三、全課總結，啟發探究。
今天你學到了什麼？
附：板書
【
課後思考
】
正所謂「一師一課，各有所思」。本次第1學區小學數學優秀課例研修活動，《神奇的莫比烏斯帶》的教學是本人在「數學好玩」這一版塊的一次深入思考和大膽嘗試。
神奇的莫比烏斯帶》是綜合實踐課。縱觀本節課，個人認為以下幾點自己做得較好：
1.情境創設合理有趣。巧妙地利用了學生的已有知識經驗，通過三年級《什麼是周長》一課中的螞蟻，迅速使學生遷移到新課的教學研究上來。
2.教學過程緊密有序，雜而不亂。雖然孩子們經歷了個人操作，組內合作及組間合作三次操作，但孩子們卻始終不亂，圓滿順利地完成了學習任務。
3.教學目標達成有效。學生不僅學會了如何製做莫比烏斯帶，還掌握了它的主要特徵，且能獨立驗證一個環是否是莫比烏斯帶。同時，在這過程中，孩子們也逐步體驗了猜想與驗證等探索過程，豐富了生活經驗的同時也深化了孩子們的數學思想。
當然，本課教學本人也存有很多疑惑之處：
1.為了順利完成教學任務，在普通環的操作時，老師直接代替了學生的操作這是否違背了學生主體的原則？
2.對於普通環與莫比烏斯帶是否需要給學生以明確的定義？如：「單側曲面與雙側曲面」。
3.對於莫比烏斯帶的剪開規律是否需要進一步總結？或者是在本課教學中是否還需進一步探究莫比烏斯帶的其它規律？
以上是本人對該課的一點淺顯認識和未完成的思考，懇請同行們提出寶貴意見。謝謝！
（供稿：劉鋼/審稿：賴明煥）
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