震驚！計算器里竟然藏著這樣一個秘密！
真男人從不回頭看數值驗證
只有娘們才喜歡用特殊函數
玩計算器的發現
大家都玩過計算器吧，不知注意到沒有。
輸入任意數，然後不斷按cos ANS最後總會輸出0.739085。
什麼，你說明明記得是：0.999847哦，因為你用了角度制。
這一系列操作等價於求解方程x=cosx，角度制下就是
當然對於現在的你來說求數值解沒啥意思了，要求就求解析解是吧。
不過這兩個方程其實是一樣的，我們先變個形：
也就是說：
於是我們現在只要解決Ax-B=sin(x)這一個方程了。
最早研究這個問題的是天文學家，畢竟那時候也沒什麼計算器給你玩，一切要從實際出發...
開普勒方程
你可能聽說過，三體問題很困難，直到一百多年前的龐加萊時代才被搞定。
而二體問題則簡單的多，400年前開普勒時代就研究的差不多了。
你至少知道這個成果，兩個天體以一個為焦點，另一個必定在圓錐曲線上運動。
一般天體遵循橢圓軌道，如圖橢圓是實際運行的軌道，與橢圓相切的是一個以半長軸為半徑的輔助圓。
在一定的時間t內，橢圓軌道上的質點運行到了p點，而輔助圓上的假想質點運行到了y點。
橢圓軌道上所轉過的角度∠T被稱為真近點角(True Anomaly)
輔助圓軌道上假想質點所轉過的角度∠M被稱為平近點角(Mean Anomaly)
將橢圓上的質點向上作延長線，交輔助圓於x點所形成的角∠E被稱為偏近點角(Eccentric Anomaly)
天文學家發現，它們滿足如下關係式：
Kepler Equation：
拋物線就是的特殊情況，雙曲線有所不同。
Hyperbolic Kepler Equation：
但從數學上講，這個式子其實就是：
也就是說不考慮物理意義其實是一樣的。
開普勒方程的解析解
有了方程當然接下來就是求解了咯，古代計算力比較值錢，畢竟沒有計算機，所以大家對解析解都有一種病態的追求。
怎麼著推一天公式要比算一整天的牛頓迭代有趣吧?
作一下等價性檢驗：
拉格朗日反演
E不能分離但M，展開M(E)，然後直接用級數反演即可。
Mathematica 可以很方便的執行級數反演。
早期解這個方程使用了關於離心率的麥克勞林展開。
這不是個整函數，所以引入了所謂的拉普拉斯極限。
超出收斂域的部分級數失效，級數反演則很好的解決了這個問題。
貝塞爾函數解
當然無窮級數不利於計算，能否使用微積分表達是我們接下來的探索重點。
我們來考慮函數方程：
我們假設它可以展開為傅里葉級數，分析原函數方程性態可以期望這是個正弦級數。
那麼係數可以表達為：
我們來嘗試計算，嗯？沒思路怎麼辦...
無腦分部積分展開到能搞定為止唄。
而這正好是貝塞爾函數的定義式之一：
Bessel Function of the First Kind：
於是原式可以寫成
赫維茨-勒奇超越函數解
Stack Exchange上有個用反三角函數和三角函數表示的解析解，這個解比較有難度。
特殊函數論中將以下級數稱為赫維茨-勒奇超越函數(Lerch Transcendent Function)
我們從上面的貝塞爾函數解開始，還原掉貝塞爾函數：
然後交換積分求和順序。
裡面的部分圈起來叫F(M)，用歐拉公式展開。
其中：
可以發現其實都是的結構。
我們引入多對數函數：
也就是說：
用這個函數化簡等式：
同樣的整理一下：
可以合併成兩組，然後再次展開，運算量有點大。
化簡的時候注意恆等式：。
注意到第二部分：
最後代回去大功告成！
代入數據就得到了 Stack Exchange 一樣的結果。
我對arctan(tan(x))這種寫法感到很不爽。
這個當然不能直接抵消，由於arctan(tan(x))≠x，我們作復展開。
嚴格來說這兩者不是完全相等的，因為這樣一來消掉了奇點。
不過積分的時候完全可以劃等號，因為區間開閉完全不影響積分值。
綜上所述，最後代入值，我們得到了：
只有娘們才喜歡用特殊函數
最後一個是百度貼吧上的，這個答案就非常魔幻了，它和上面兩個方法不是一個系列的，和第一個方法有關。
暴力求解拉格朗日反演的解析形式，場面非常的少兒不宜...
我一時半會兒也沒看懂，詳情看參考書目(3)。
從這個結果上也能看出這個方法有多殘暴...
參考書目
1.On Taylor series and Kapteyn series of the first and second type
2.Kepler"s equation, radiation problems and Meissel"s expansion
3.An exact analytical solution of Kepler"s Equation
本文由超級數學建模編輯整理
來自醬紫君（知乎）
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