價值百萬美元的數學難題
2000年5月，克萊數學促進會(CMI)為了激勵與榮耀當今的數學家們，宣布為七個著名的數學問題各開出100萬美元的賞格。
當然，從某種意義上來說，CMI的懸賞也不過是錦上添花。畢竟，這七個問題足以粗略勾勒出下個世紀數學研究整體的面貌和版圖，如果你成功解決了任何一個，就要面對各國科學院雪花般的邀請函。如果你同意擔任某所大學的榮譽教授，他們會覺得面上有光。你的母校會在校園裡為你塑一座半身雕像，充當鴿子、麻雀的公廁……誰又能拒絕這等榮譽呢？比爾·蓋茨、扎克伯格和馬雲建立的科學發現基金，會忙不迭地把300萬美元塞到你的手裡，然後轉身就走，唯恐你自命清高後悔接受他們的獎金。
事實上，他們還真不是杞人憂天。千禧年七個百萬難題中，如今唯一被解決的就是所謂的龐加萊猜想。2002年左右，俄國數學家佩雷爾曼石破天驚地在預印本網站上貼出一篇證明梗概的長文，並且表示希望到06年的時候能有人做出評價。普林斯頓的幾位數學家花了差不多3年的時光釐清證明的細節，終於確認，佩雷爾曼的證明是完整無誤的。隨後，當科學界急切地要把各種榮譽加諸其身的時候，佩雷爾曼砸了電話，搬到了林中的小屋，過起了當代隱士的生活。他目前唯一接受過的榮譽是國際中學數學奧林匹克金牌。
當然，雖說巴西踢平之後，大家普遍手頭緊張，不想放過每一個賺取百萬的機會，還是先得知道問題是個啥。
下面簡要地介紹一下，剩下的六個百萬難題。
1.P=NP？演算法學界的永動機
斯大林曾經說過：「數量本身就是一種質量。」
想一下在3×3的棋盤上玩圍棋，以及19×19的棋盤上玩圍棋的不同感受，或許你就會同意這位蘇聯領導人的灼見。
在數學和計算機科學中，存在很多問題，我們知道如何編程「快速」解決它們——基本算術，對列表進行排序，搜索數據表。
這些問題可以在「以規模為變數的多項式時間內」解決，簡記為「P」。換句話說，你對10000個數字進行排序，和你對10001個數字進行排序，運算增加的時間是在一個可控的範圍內。
但還有一類問題我們可以很快驗證一個答案是否正確，但卻並不清楚如何高效地得到答案。
尋找大數的素因數就是這樣一個問題。沒有已知的方法可以快速找到任意數的素因子。幸好如此，因為當今互聯網的安全性正是依賴於這一事實。
由於歷史和技術原因，這類問題被稱為可以在「非確定性多項式」或「NP」時間內解決的問題。
現在問題來了：我們無法找出NP問題在多項式時間內的演算法，到底是因為本來就不存在這種事情，還是僅僅因為我們能力不足？
如果，數學事實不是客觀的，而是依賴人們的意願與能力。那證明出NP=P——也就是說，是我們能力不足，其實存在著多項式時間的演算法來解決NP問題——其影響力，就好比說我們發明出了永動機！演算法和邏輯科學領域中的永動機。
當然，因為上帝不會對我們這麼好——永動機並不存在，所以數學家普遍的看法是NP≠P！
另外值得注意的是，數學界有另一個普遍的猜測，NP≠P大概會是最有可能在未來幾年出現重大突破的問題。雄心壯志的同學可以一試。
2.Navier-Stokes方程：流體力學中拼圖中缺失的最後一塊
你打開水龍頭時，你攪拌咖啡中的奶油時，我們現在的科學甚至都無法解釋如此常見情景中經歷的物理變化。
Navier-Stokes方程是牛頓運動定律的流體動力學版本。他們描述了在各種條件下液體或氣體將如何流動變化。
從19世紀，法國科學家Navier和英國數學家Stokes提出了該方程以來，它在大氣運動、洋流分析、石油勘探、水利工程乃至心血管疾病診斷之中發揮了愈發重要的作用。
除了一個問題，數學家至今無法證明這一方程是有解的！
當然，我們確定它肯定是有解的，因為它是我們是從現實中的物理現象中抽象出來的純粹數量關係。你擰開水龍頭，或是攪拌咖啡中牛奶，就相當於找到了一組特殊的解……
這是一個非常重要，看似簡單實則極其困難的問題。有大量的數學家和工程師致力於解決這一問題。暫時看不到路在何方。
3.帶有質量缺口的楊—米爾斯規範場論：量子力學版的麥克斯韋方程
稍微熟悉點物理學的人都應該明白麥克斯韋方程的重要性。
就像是牛頓三大定律奠定了經典力學的根基，經典電磁學就建立在麥克斯韋方程組之上。實際上，狹義相對論本身也是麥克斯韋方程組進一步推導出的結果。值得注意的是，通過麥克斯韋方程組實際上推導出了一種沒有靜止質量的粒子——光子。
當年輕的楊振寧和他的室友米爾斯，通過類比麥克斯韋方程組，得到了可以解釋強力和弱力性質規範場論的時候，也自然的得到了某種類似光子沒有質量的粒子！
隨後，楊振寧在泡利、奧本海默等一群大佬面前上台介紹自己的成果，期望得到他們的首肯時，泡利一針見血的提問道：「你這個理論是不是預言了某種沒有質量的粒子啊？」
楊振寧低聲說：「是。」
泡利站起來，「大家都散了吧，後面的不用聽了。」
幸虧對楊振寧青眼有加的奧本海默一把按住了泡利，說：「聽一聽年輕人的構想也無妨嘛。」
當然，泡利不是要故意刁難，畢竟現在也沒有人能觀察到沒有質量的膠子。不過隨著規範場理論在應用上的巨大成功，物理學家逐漸認可了這一概念。
現在唯一的問題就是，規範場理論應該能通過理論推導出電子的質量，但是迄今為止，沒有哪位物理學家和數學家能做到這一點！
據說目前並無太多學者嘗試攻克質量缺口問題，因為物理學家覺得這是一個數學問題，畢竟他們早已通過實驗測量出了電子的質量；而數學家……也認為這是一個數學問題，但是太難，物理背景又忒刺眼。咳咳
4.黎曼猜想：數學界中的明星
數學界中的明星，也是公眾中最知名的數學猜想之一。
在數學中，自然數的重要性無與倫比。因為，實際上我們真正能計算的就是自然數！
根號2和π一樣，只是一個符號。我們只是大致知道它們的前幾位數。
我們真正能把握的只有自然數和它們的四則運算。所以，自然數的基本單位——素數，也在數學領域中獲得了顯赫地位。
黎曼猜想就是指出，某個複平面上的解析函數，可以刻畫出所有的素數！
半個世紀前，數學家Weil在有限域上證明了黎曼猜想！彷彿給數學界打了一針強心劑。如今，有海量的學者和民間愛好者正試圖攻克這一難關。
曾有數學家開玩笑說，證明了黎曼猜想的人將獲得不朽，而證否了黎曼猜想的人，會當場去世，來不及寫出自己的證明。
想要對黎曼函數，複平面解析等概念產生感性認識，可以點擊此處鏈接。
5.Birch-Swinnerton-Dyer猜想：橢圓曲線上的大秘密
丟番圖方程是數學研究中最古老和最廣泛的對象之一。就像之前提過的，整數最有價值，我們多麼想要找到多項式方程的整數解啊。
許多人都知道的最經典的例子是勾三股四玄五。它們就是方程
X^2+y^2=z^2的一組整數解。
近年來，代數學家特別研究了橢圓曲線，它由特定類型的丟番圖方程所定義。這些曲線在數論和密碼學中有重要的應用。
前沿、高端、熱氣騰騰，滿含希望的研究領域，值得有識之士的加入。
6.霍奇猜想：不適合心理脆弱的人
該猜想在各個意義上都難到令人絕望(包括對它做科普)，實際上它的正式表述：
一個非奇異射影代數簇上的每一個調和微分形式都是代數閉鏈上的上同調類的一個有理組合。
一般來說，要想自然的說出上面這些話，就需要一個數學專業的博士學位。所以，有特殊需要的朋友可以背下來以備不時之需。
雖然這一猜想如此可怕，但它的出發點其實非常的簡單。我們人類的思想方法，說來說起也就那麼幾個。
為了掌握複雜的事物的性狀，我們或是把它拆解成簡單的組成成分，或者是用簡單的部分來逐漸逼近它。
霍奇猜想，就是後面的思路。它指出存在某種方式，可以用相對來說簡單的幾何構件一點點地拼接出高維度中超級複雜的幾何對象。
部分引用了
本文譯自 sciencealert，由譯者 majer 基於創作共用協議(BY-NC)發布。
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