在數學或者物理中，什麼是「事情被證明了」！
原文作者，AskaMathematician網站。
翻譯作者，radium，哆嗒數學網翻譯組成員。
校對，Math001。
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最初的問題是：......讓我感到困惑的是一些像巴拿赫-塔斯基悖論（又稱「分球怪論」）以及其他在純數學和理論物理中抽象的概念，都可以認為是已經「被證明」的。那豈不是違反了在真實/物理世界中只能通過實驗來驗證假設，從而證明某件事情的原則？ 即使如此，說任何事情都可以毫無疑問地證明是不是有點不太合理？
物理學家：假設檢驗是科學探究的主力，用於決定假設成立可能性的大小。假設檢驗的結果不是承認，也不是否認的結果。是一個估計你會不小心看到給定結果的可能性。發生意外的可能性越小，它就越有可能成為真正的影響。 例如，我們還沒有證明希格斯玻色子存在，只是因為CERN的數據偶然會產生一兆分之一的概率。 這不是一個證明。 即便如此，如果一個現象按照預測的方式運行，那麼你也可以相信它是真實的。
事情「被證明」是確實可靠的，就像我們可以肯定地知道有人贏得了一場國際象棋比賽一樣。 宇宙結構中沒有任何東西可以決定棋子在棋盤上移動的方式（除了自然的變化）或誰贏了某場比賽，然而每個了解這些規則的人都可以成為勝利者。而數學，基本上就和國際象棋或其他遊戲的規則差不多(雖然看似自己玩自己的，但它是最純粹的科學，它以最簡單的思想讓我們擺脫對事物模糊的把控）。
一旦規則被建立，你就可以基於這些規則和一些邏輯證明一些事情（技術上講，邏輯只是更多的規則）。例如，基於直接了當數學規則的合理簡短列表，您可以首先定義素數是什麼，然後證明它們的數量是無限的。
數學中的規則被稱為「公理」而基於這些規則的結果被稱為「定理」。例如，「你不能將一個點分成兩半」這是一個公理，與此同時「有無限多的質數」是一個定理。當你第一次了解到數論和演算法時，你會學到皮亞諾公理（Peano"s axioms）以及基很多定義和基於這些定義的結論。就像下棋的規則一樣，公理規定了在數學中你能做和不能做的事，從中人們可以自由地去探究他們可以或不可以得到的結論。數學沒必要讓得到的結論都來自於實際，因此它恰好包括了一些利用最有效的工具去理解它所構造的事物。
事實上，我們沒有根據實際生活創造的數學似乎看起來沒有價值，但結果常常是這些數學卻變得相當的有用。例如，通過將幾何學的規律從三角形，三維空間甚至距離概念中推廣出來，數學家為愛因斯坦的廣義相對論鋪平了道路（它描述了在扭曲時空方面引力的性質）。基本上，他僅僅是把他關於時空的想法用數學上早就創造出的結論表達了出來。
巴拿赫塔爾斯基分球悖論在集合論中已經存在了一個世紀之久了。他說的是你可以（除了其他因素外）把一個球分成五個或更多的集合，旋轉然後移動一些集合，然後重新組合它們可以得到和最初一樣大小的兩個球。這些集合不像塊拼圖碎片，更像霧中的水滴，幾乎所有的這些集合都小於給定尺寸。值得注意的是，這些在現實生活中是完全不可能的。分球怪論託了數學的福，它不被現實的嚴格限制所主宰。
巴拿赫塔爾斯基分球悖論基於集合論中一般的公理，策梅羅-弗蘭克爾（Zermelo–Fraenkel，簡稱ZF），但是需要增加一個具有爭議的公理，即「選擇公理」（ZFC）。在數學界，「具有爭議」的是似乎有點用詞不當；數學家們大多時候都在自顧自的寫長篇論文，如果需要打斷寫作而交流，他們只會悻悻地相互打量一下。選擇的公理對於數學，就像吃過路兵對於國際象棋一樣，當它被需要時，它就出現了，但是你一般不需要它（設想你曾經在下國際象棋時被人吃了過路兵，但你並不知道具體它是什麼）。
選擇公理說的是你總是可以從無限多個集合中在每個集合里取出一個元素。如果集合只有有限個這是顯然的（「放手去做就行了」），或者你可以提出一個合適的規則將這樣的元素取出來（例如「每個集合中取最小的數」）。但是有時你會遇到無限個集合中的無限個元素。沒有最大、最小甚至中間的元素。如果你想知道如何從這些集合中挑選一個唯一的元素，選擇的公理說「大哥，穩，你可以的」。這是被提出來改變遊戲規則的一個完整的陳述。這不是真的或假的問題，而是數學家與其他數學家之間一致統一以及和睦相處的問題。
物理學，儘管是科學的女王，我們凡人可以努力理解現實本質的手段，也不比數學好。在物理學中，你可以「證明」事物會發生或不會發生，但僅僅是基於已建立的規則：「物理定律」。例如牛頓萬有引力定律說，兩個相距為r，質量分別為M和m的物體間的吸引力為F=GMm/r2。不僅僅是一個事實的陳述，像這樣的數學表達式允許我們精確地描述或預測事物的物理行為。根據這個定律（和其他一些）我們可以精確地證明軌道是橢圓的。注意到「精確」，但不一定是「真的」。
如果這些規則被實驗證明是錯誤的，那麼基於它們的證明不是真正的證明。這就是為什麼物理學家如此小心地建立和驗證他們的理論的每一個細節。他們花費了（似乎浪費了）幾十年的時間來測試他們已經幾乎100%確定的東西。因為任何基本定律的缺陷都會波及到基於它的每一個「被證明」的事物。
數學或物理學中的一些基本規則或假設被顛覆了。在數學中，這完全是由於邏輯，但是物理要求得更多。我們不能僅僅用邏輯來推測宇宙的規則。如果你只是用頭腦空想，這個宇宙的本質將是對你一個真正的衝擊。無論你有多聰明，你都需要實驗和觀察來了解關於世界的新事物。
很容易（是的.......很容易）寫下一些物理規律，這些規律似乎描述了我們對宇宙的了解，但結果卻是錯誤的。 如果沒有大量精確的數據和數學來支撐它，就沒有辦法知道你知道的東西僅僅只是你的想法。牛頓定律是非常有用的，但最終被證明和現實也不是完全貼合的。他們根據我們當時的數據完美地描述了宇宙；當更準確（更難以獲得）的數據產生「更真實」的物理理論時，我們開始意識到牛頓的物理學是僅僅只是非常好的近似值。
在愛因斯坦之前，我們已經習以為常地認為時間和空間是完全獨立的。它採取了一些嚴肅的深奧的現象（例如，光速的不變性和水星軌道上的微小誤差），表明時間和空間是相互關聯的，它們是同一事物的不同方面。在貝爾之前，人們幾乎完全篤信，無論我們是否知道這個狀態是什麼樣的，認為一切都是在一個明確的狀態下進行的，這個看似完全合理的假設就是「現實主義」。
同樣，我們認為的宇宙和我們目前觸及到的宇宙的差異（可能）是一組不可思議的深奧的、幾乎不可察覺的效應（例如，放射性衰變和糾纏粒子的「不可能」統計數據的隨機性）。這些效應花了很多精確的實驗去驗證（盡職檢查，闡述，並多次驗證）以及利用數學得出結論：不，一個如此基本的假設，我們稱之為「現實主義」或「現實假設」實際上是錯誤的。量子物理學家已經超越了通常的理解，他們將這個性質定義為「單一狀態」的「反事實確定性」（counterfactual definiteness）。這沒什麼好說的，但是如果你能看懂，你很厲害。很好。
在數學中，雖然你可以證明一些東西，但是最終就像棋局，你僅僅只是在棋盤上移動棋子。在邏輯領域裡有很多東西需要理解和發現，但是數學，和所有人類的抽象思考一樣，全都存在於我們的頭腦中。
在物理學中，你不僅可以用物理定律來證明事物，而且那些物理定律是唯一真實的，因為它們總是在每一個場景中完美成立（我們可以測量和驗證），就是說，你可以放心的相信他們。
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