摺紙超材料的拓撲運動學——一種理解和設計雙穩態摺紙超材料的新思路

固態物理中，通過費米面（電子佔據狀和非佔據態的能量分界面）的拓撲與能帶結構之間的關係來理解電子相隨能量的變化是一種非常常用的方法。事實上，拓撲的概念同樣廣泛適用於非電子材料，可以用來理解各種看似不相關的現象。近期，康奈爾大學Bin Liu等人將固態物理中的拓撲原理應用在摺紙領域，提出了一種理解和設計雙穩態摺紙超材料的新思路。

本文標題中說的拓撲和我們平時理解的拓撲有一定的差別。為了解釋這一點，首先需要定義一個從摺紙超材料到構型空間的映射：對於單個結構，它的每個構型在構型空間中對應一個點，那麼它的自由度也就相應地對應構型空間的維度。幾何約束則會限制構型空間的可用部分，而這樣被限制的構型空間可用部分的結構就是文中所說的拓撲。通過引入摺疊角度的約束，構型空間拓撲的連接性可能會發生變化，從而使超材料穩態的設計成為可能。

作者把所有摺紙超材料的雙穩態現象區分為兩種，能量雙穩態和拓撲雙穩態。當構型空間中間連通並且有兩個不同的局部能量最小值時，就會出現純能量雙穩態(下圖a，左)。而當構型空間不再連通時，就會出現拓撲雙穩態(下圖a，右)。兩種穩態現象在摺紙超材料中有同時存在的可能。對於後者，如果允許面的彎曲，即引入虛擬摺痕，相當於在更高的維度上架起了構型空間拓撲之間的橋樑。

摺紙超材料中的能量和拓撲雙穩態

作為例子，作者用這一思路分析了三種以Miura為基礎的摺紙超材料。

首先，作者以Miura的單個節點為例，用構型空間的方法分析了其運動。單個Miura節點由四條摺痕構成（如下圖a：紅色實線、藍色虛線），是一個4R機構，具有單自由度和一維的構型空間。但實際摺紙超材料中，變形往往不是剛性的。因此，為了更準確地分析，作者增加了兩條灰色的虛擬摺痕，使節點具有三個自由度和三維的構型空間（如下圖b、c）。調整設計參數α的值，構型空間的拓撲也會發生變化。本例中，增大α會使得構型空間收縮。而限制某一個構型參數，相當於以取截面的方式對構型空間進行降維處理。在某個截面處出現不連接的構型空間拓撲，意味著在該設計參數和角度限制下所分析的節點出現了雙穩態現象。（如下圖b右下、c右）用這個方法，可以對摺紙超材料進行透徹的分析和參數化設計，按需構造穩態。

Miura單個節點的分析

而對於單個驅動、多自由度的較為複雜的情況，這一理論也可以良好地解釋力學實驗中的現象，如環形Miura中的多穩態現象和多參數混合的Miura在中間單元完全摺疊時兩側單元的解耦現象（如下圖）。

其他Miura的變化形式——環形Miura

其他Miura的變化形式——多參數混合的Miura

這種方法創新性地把固體物理中的能帶理論應用到了摺紙超材料的分析、設計中，尤其適合多單元、多自由度摺紙超材料穩態的分析，對我們設計雙穩態摺紙超材料很有啟發。

參考文獻：

Bin, L., Jesse, L. S., Arthur, A. E., Christian, D. S., Robert, J. L., Thomas, C, Hull., Itai, C. (2018). Topological kinematics of origami metamaterials, Nature Physics.

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