數學是什麼？脫離物理的數學有意義嗎？

數學在物理中應用非常廣泛。甚至可以說，很多數學就是脫胎於物理的需要而產生的。很多人就此產生了數學是依附於物理的感覺。他們不禁要問：脫離物理的數學還有意義嗎？

這個問題的回答是：數學的意義，正是它能夠脫離一切具體的研究對象，包括物理。

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舉個例子。人們一開始定義實數，是因為它描述了物理世界中發生的事情，比如說距離和時間。那麼，如果我們最後發現這個宇宙其實符合所謂的「數字宇宙」原則，也就是說擁有最小的組成單元，而其他一切東西都可以由此推出，那麼是不是意味著實數就失去了意義？

並不是，原因有幾個：

首先，實數的定義本身有其必然性。實數，其實就是有理數的自然延伸。有理數雖然運算很容易，但有一個問題，就是它不允許取極限，或者說，它構成的度量空間不是完備的。而作為度量空間，有理數的完備化自然給出了實數。而完備空間的概念也是自然的，因為它就是度量空間上連續性的體現，而連續性本身也是自然的，因為它本質上就是對元素的無限序列的一種考慮。

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其次，實數的用處，不僅在於最基礎的物理。所有有關概率的問題，比如說統計物理的問題，實質上都需要用到實數的概念。這是因為，通過將離散轉化為連續，很多時候問題就能大大簡化。即使在最基礎的物理中，比如弦論，也需要用到很多高深的數學，比如霍奇積分等等，這些高深的數學也需要奠基在實數的基礎上。

另外，即使宇宙擁有最小的組成單元，根據量子物理，概率（或者說希爾伯特空間）仍然是本質和必要的，而這就是奠基於複數以及實數的。基本上，在目前所有最前沿的理論中，都需要用到概率的元素，也就是實數。

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最後，也是最重要的：實數在許多領域中都有著應用，而即使不考慮這些應用，實數本身就有研究價值。

數學最大的價值，不在於它有多少應用。應該反過來說，正是因為數學的研究方法，所以它能用到各種地方。

很多人也許會覺得，數學就是用於計算的學科，很多人在學習數學時，因為這種想法，往往只去機械地記住公式然後計算，卻不去理解這些公式是怎麼來的，也不在意這些定理的來源。這種想法其實不好，相當於將數學最有價值的部分丟棄了。

數學是什麼？數學是研究抽象結構以及它們之間關係的學科。正因為它們沒有具體附著在任何東西上面，所以它們能應用到任何條件合適的問題上。只要符合實數的公理，無論是物理量，還是生物種群，又或者社會心理，實數的數學理論都能用上。正因為它什麼都不是，所以它什麼都是。

所以說，數學，正是因為能夠通過抽象這一利器，脫離物理，脫離化學，脫離一切學科，它才擁有了普適的意義。數學的意義不在於它能幫助我們解決某一個學科的問題，而在於無論什麼問題，只要符合一定的前提，都能利用同一套數學理論解決。

這就是為什麼數學是最基礎的工具，也是科學的女王。

題圖來源：圖蟲創意

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