物理與數學是什麼關係？

這回答這問題之前，我覺得有必要說明，物理和數學都是一個寬泛概念，物理粗略地分有小十個大方向，數學有十餘個，那麼是不是每一個物理方向都和數學有關？這個就不能簡單地說有，或者沒有。有些物理分支之和某些數學分支有聯繫，我舉個例子，偏向於實驗的物理分支，一般和數學關係就疏遠一些；而像理論物理等方向可能甚至就是半個數學。

搞清楚這個，就可以回答這個問題了。我比較傾向於"數學和物理是相輔相成，此消彼長"的關係。為什麼這麼說。我們可以看數學史和物理史。

首先看，物理引發數學革命的案例。第一個案例：因為近代物理需要研究變數關係的緣故，數學家建立並完善微積分。眾所周知，牛頓和萊布尼茲發明了微積分，尤其是牛頓直接將微積分應用於力學，獲得了許多有價值的物理定理。但是，這不代表牛頓的工作就標誌著微積分是完備理論，直到二十世紀初期，微積分才基本被完善。第二個案例：二十世紀八十年代末九十年代初，由於物理學的共形場論需要，數學家提出了範疇論。共形場論是幾乎遍及所有物理分支的理論。它發軔於廣義相對論，接著在凝聚態物理，量子場論，超弦理論等領域大放異彩，可是共形場論的數學圖像一直沒有搞清楚，後來數學家發現只有建立新的圖像，使用新的數學語言才能構建共形場論的數學圖像，這就是範疇論。

下面看，數學引發物理革命的案例。這個比較多了。第一個是相對論，相對論的動力學圖像可以由微分幾何給出，而微分幾何則早於相對論半個多世紀就建立起來了。第二個是場論，研究對稱性，最缺不了的就是李群李代數，而索菲斯·李無論如何都想不到自己提出的數學理論在一個世紀後會成為場論的一個核心工具。第三個是規範場論，數學的纖維叢理論可以說是為規範場論量身打造的。還有很多，比如示性類，指標定理。在凝聚態還有高斯二次剩餘定理(這個我也是偶然讀一篇論文發現的，實在是太驚訝了，這可是數論)，二十多年前陳院士用"麥比烏斯"反演統一熱容公式等等吧。

但是，我要強調，物理里的公式和數學公式是兩碼事，物理公式一定是有量綱的，這和數學很不同。因為這意味著，我們完全可以猜出物理公式，比如愛因斯坦公式，量綱分析一下，只能是$E=kmc^$。最後，我要說明，對於物理而言，數學只是說話的工具，不是核心。物理的正確性最終是實驗說了算，所以，物理只有結合了實驗才有正確性和合理性。違背實驗的物理，只能說是數學遊戲。

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