選擇不同的訓練用球，是否會影響世界盃比賽結果？
四年一度的世界盃如約而至，點燃了幾十億球迷的熱情。COMSOL 的球迷員工當然也不例外。我們在茶歇和午餐時熱烈地討論各國的球隊、球員、賽前準備和種種可能影響球隊發揮的因素。足球是比賽的重要主角。足球這一話題將我們對運動的熱愛和對物理學的好奇心聯繫在了一起！
訓練成就完美，但首先要選對球！
在現代足球比賽中，定位球戰術往往是得分的關鍵。進攻隊員必須準確傳球，防守隊員則需要預測足球的運動軌跡。如果踢出的球偏離常規路線，讓球員難以適應，肯定會對比賽結果產生影響。而足球的阻力係數在很大程度上決定了傳中、長傳、遠射、角球和自由球的準確度。
在世界盃歷史上，大力神杯顯然最為垂青少數幾支球隊。自 1930 年以來，冠軍都被本屆六支熱門球隊和曾擊敗過巴西隊的烏拉圭隊以及曾兩次奪得世界盃冠軍的義大利隊包攬了。
阿迪達斯是本屆世界盃官方比賽用球「電視之星 18」（Telstar 18）的製造商，也是不少入圍球隊的贊助商。在今年的六支奪冠熱門球隊中，阿迪達斯和耐克贊助的球隊各佔一半。阿迪達斯贊助的球隊（德國、阿根廷、西班牙等）會使用「電視之星 18」進行賽前訓練，而耐克贊助的球隊（巴西、英格蘭、法國等）則可能會選擇耐克 Ordem V 作為訓練用球。對於選擇官方比賽用球，還是贊助商用球進行訓練這一問題，在本屆世界盃上呈現出勢均力敵的局面。
本屆世界盃種子球隊：德國、阿根廷和西班牙是阿迪達斯的贊助的球隊，在訓練中使用世界盃官方用球阿迪達斯「電視之星 18」。巴西、英格蘭和法國是耐克贊助的球隊，他們究竟會選擇耐克 Ordem V 還是阿迪達斯「電視之星 18」 足球進行訓練呢？
通過對比阿迪達斯「電視之星 18」和耐克Ordem V 兩款足球的阻力係數，我們可以估算出世界盃種子球隊面臨的潛在影響。通常為了測量阻力係數，我們會利用風洞實驗室來測量足球的受力情況。但這次我們將用一個更簡單的方法計算阻力係數。
足球實驗的相關理論
使用阿迪達斯「電視之星 18」足球進行訓練的球隊在世界盃開賽時是否具備優勢？為了弄清楚這一點，我們針對實驗做了以下假設：
若鼓風機能使每個足球懸浮在空中，則球相對於周圍空氣的速度等於球的終端速度。終端速度指在高空中自由落體的球體在下降過程中，加速度逐漸減小為零，做等速度運動時的速度。
終端速度與球的阻力係數相關。阻力係數越大，終端速度越小。
從技術角度講，鼓風機吹出的氣流屬於湍流射流。距離射流出口越遠，湍流射流中心的速度就越小；在本文中，射流出口指鼓風機的吹管。
第 2 和 3 條假設共同表明，相比於阻力係數較小的球，阻力係數較大的球的懸停位置距離鼓風機吹管更遠。
根據力的平衡原理，我們推導出了終端速度與對應的阻力係數之間的關係式。由於球的重量是同體積空氣的 80 倍，所以基本可以忽略浮力的影響。以此假設為前提，下圖中左側兩種力獲得了平衡。
向上的阻力與向下的重力達到了平衡。
其中，表示阻力，為阻力係數，為球的橫截面積，為空氣密度，為球的終端速度，為重力，為球的質量，g 為重力常數。
無論測量哪一款球，球的橫截面積和質量、空氣密度始終不變。因為終端速度隨阻力係數的增大而減小，所以和是唯二的變值。
如上圖所示，當球懸停在鼓風機上方時，阻力和重力的大小相等，方向相反。由此可得以下等式：
進而推導出終端速度的表達式：
公式表明，若的值從 0.2 變成 0.15，終端速度約增大 15％。
作為對比，傳統的 32 塊皮的足球設計在湍流邊界層分離區的值應該約等於 0.2，而南非世界盃決賽期間的阿迪達斯Jabulani（「普天同慶」）足球的值約為 0.15。球員們普遍反映，Jabulani 足球在空中表現不佳，明顯帶來一些問題（守門員尤其難以適應）。如果阿迪達斯「電視之星 18」的阻力係數比耐克Ordem V 小 0.05，則二者的終端速度應該相差 15%。在世界盃期間，這一差異可能非常影響使用耐克Ordem V 訓練的球隊的表現。
足球實驗的設置
我們的主要實驗設想是：將鼓風機豎直向上放置，並將足球置於噴嘴上方。作為實驗準備，我們事先在 COMSOL Multiphysics? 軟體中運行了一些模擬，以預測現實中在鼓風機吹出的氣流速度下，足球的最終平衡位置，如下圖所示。
實驗設想圖，我們預先估算好了鼓風機和兩個足球之間的適當距離。阿迪達斯「電視之星 18」與耐克 Ordem V 真的會呈現顯著差異嗎？
與此同時，我們也對鼓風機實驗的成功心存疑慮。
從哪一處起，測得的阻力係數將同阻力係數與球速的函數關係曲線保持一致？
終端速度是否位於層流或湍流邊界層分離區？
要測量出兩隻足球與鼓風機之間的距離差，球的阻力係數至少相差多少？
下圖顯示了阻力係數與不同類型的足球的速度之間的函數關係示意圖。阻力危機區域處於 10~20 m/s 的球速之間。根據上文公式，可計算出終端速度約為 35 m/s，此時速度處於湍流邊界層分離區（如下圖所示），這也是難度最高的遠射球和自由球的最快速度。直到球速下降到 15~20 m/s 之前，阻力係數沒有出現大幅變化；當球速降為 15~20 m/s 時，可能發生了向層流邊界分離的過渡。因此，只要測量湍流邊界層分離區其中一點上的阻力，即可代表球在整個該區內的阻力。湍流邊界層分離區的下半部分對應遠距離傳中、長傳球、自由球和角球。
阻力係數與速度的函數關係示意圖。在湍流邊界層分離區內，阻力係數變化不大。綠色曲線代表阿迪達斯 Jabulani，藍色曲線代表在 2008 年奧地利瑞士歐洲杯中使用的阿迪達斯「團隊之星二代」（Teamgeist II），紅色曲線代表傳統的 32 塊拼接球面設計，例如首次出現在 1970 年墨西哥世界盃中的初版阿迪達斯「電視之星 18」。
參考公開發表的阻力係數測量數據，我們可以得出結論：大多數遠距離傳球和定位球進攻都處於湍流邊界層分離區內，此時終端速度所對應的阻力係數具有代表性。因此，我們可以打消第一個疑慮：函數曲線上的單個點也可以提供有價值的信息。
假設我們設法找到了一台功率足夠大的鼓風機，使球懸停在吹管上方約半米處。如果兩隻球在終端速度下的阻力係數相差 0.05，那麼它們與吹管的距離值相差多少呢？
假設阻力係數最小的足球的終端速度為 40 m/s（值約為 0.15）。已知，在鼓風機吹管正上方的距離越遠，湍流射流的速度就越小。由此可估算，阻力係數較大的足球，比阻力係數最小的足球的位置高出 7~8 cm 左右。所以，值較小和較大的足球，與吹管的距離分別為 0.50 m 和 0.58 m。這個差距不難測量！
綜上所述，如果阿迪達斯「電視之星 18」和耐克Ordem V 的阻力係數確實相差極大，通過小心測量，我們能夠測出兩隻球在鼓風機上方的高度位置差距。
不過，我們必須遵守幾條重要的試驗規範：
參照世界盃（8.5~15.6 psi，約等於 58.6~106.9 kpa）的官方氣壓標準，使用可精確測量足球內部氣壓的打氣筒給阿迪達斯「電視之星 18」足球打氣。
給耐克Ordem V 打氣，使其重量等於阿迪達斯「電視之星 18」（或者儘可能接近）。此時氣壓大致相等。但相比於氣壓，更重要的是兩隻球的重量相同。
測量兩隻球的直徑。兩隻球畢竟都是官方用球，直徑應該幾乎相同，但是為了準確計算阻力係數，我們需要清楚了解並考慮到直徑差異。
在整個實驗過程中，利用水平儀使吹風管與地面成 90° 角（平行於重力方向），並確保鼓風機的位置和角度始終不變。這一點非常重要。
鼓風機不應該拿在人手中，因為人可能會擾亂足球周圍的氣流。
對於建議實驗設置（如下所示），我們必須保證末端管長至少為直徑的十倍，目的是減輕彎管對出口處流動模式的影響。
為了確保相機系統精確地測量鼓風機吹管與球之間的距離，安置好相機後，對測量的距離進行校準。
虛擬屏幕應當遠離足球，以免擾亂射流。
將相機固定在三腳架上，使相機與屏幕成 90° 角，且相機與屏幕和鼓風機的相對位置始終不變。
將球放在鼓風機吹管上方，並且保證球不會旋轉。（在實驗過程中，球不應該旋轉。）
每次運行 10 次試驗，以測得平均距離。因為每次是不同的球面朝向鼓風機的吹嘴，距離值可能會隨之變化。
務必記錄所有數據，以便返回檢查任何異常結果。
實驗示意圖。屏幕必須遠離足球，以免干擾鼓風機吹出的空氣射流。「三腳架上的相機剪影」圖片由 GDJ 提供，通過 openclipart 分享。
世界盃賽果預測
假設我們真的能夠測出阿迪達斯「電視之星 18」和耐克Ordem V 之間的高度差，對英格蘭、巴西和法國（耐克贊助球隊）對來說，這無疑是個壞消息，除非他們選擇使用阿迪達斯「電視之星 18」足球來訓練。當然，德國、西班牙和阿根廷（阿迪達斯贊助球隊）一定很樂意聽到這個消息。
需要注意的是：即使沒有測出顯著的阻力係數差異，阻力危機區也會極大地影響球何時將受旋轉的擾動（馬格努斯效應），或無旋轉球何時開始搖擺不定（蝴蝶球或沙灘球效應）。阻力危機指的是球由於受到阻力而減速，促使邊界層從湍流轉變為層流的現象。如果阿迪達斯「電視之星 18」足球的阻力危機比耐克Ordem V 出現得更早（也就是說，已經處於堪比阿迪達斯Jabulani 的高速運動狀態，比普通足球速度更快），它產生的影響甚至比阻力係數更顯著。然而在現實中，如果不同足球在湍流區的阻力係數表現相似，那麼出現阻力危機的速度區域也會相似。為此，我們需要想出一個更加簡單的阻力危機測量方法，但這是下一個實驗的事了。
期待後續更新…
英格蘭、巴西和法國球隊有可能在讀到這篇文章後，換成使用阿迪達斯「電視之星 18」足球投入訓練嗎？我們不得而知。不過，一些報道聲稱這些球隊正在使用阿迪達斯「電視之星 18」足球進行訓練。看來，他們自己也不想冒任何風險。
實驗準備工作正在順利進行中。我們購買了耐克Ordem V 和阿迪達斯「電視之星 18」足球，還租用了能找到的最強勁的鼓風機。敬請關注後續實驗結果，一起來科學預測世界盃比賽結果！
編者註：請關注後續文章「選擇不同的訓練用球會影響比賽結果嗎？」。
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