算術好？那就用16元的紙幣吧！

怎樣的紙幣面額組合

才是最合理的？

兩個造假幣的不小心造出了 33 元的鈔票卻又不想浪費，他們決定拿到偏遠山區花掉。

當他們用 33 元的假幣買了一串 1 元的糖葫蘆後，他們哭了：農民伯伯找給他們兩張 16 元！

當然，這只是一個段子。加拿大滑鐵盧大學計算機系研究員 Jeffrey Shallit 也很喜歡這個段子，並且他認為，從理論上講鈔票就應該有 16 元和 33 元的。

16元的紙幣最方便

以人民幣為例，紙幣面值在 100 元以下的一共有 1 元、5 元、 10 元、 20 元、 50 元五種。

Jeffrey 認為這 5 種紙幣面額數值的組合併不是最科學的，而應該是 1 元、 5 元、 16 元、 23 元、 33 元這五種。

平時我們去超市買東西，每次使用 100 元以下數額的錢（ 1 元到 99 元），需要用 1 元、 5 元、 10 元、 20 元、 50 元五種面額的錢幣組合而成，有的時候需要一張，有的時候需要兩張或者更多。

比如你需要 31 元的零錢，可以用三張 10 元的和一張 1 元，也可以用一張 10 元、一張 20 元和一張 1 元，前一種需要四張紙幣，後一種需要三張。

在組成 31 元的所有可能方案中， 10+20+1 是最佳的，它最節省鈔票張數，也就是說，湊成 31 元最少也需要三張紙幣。

我們可以對從 1 到 99 之間的每個數額分別算出來它最少需要的紙幣張數，這不難通過編程實現。

這樣一來就能知道使用這五種面額的人民幣組成 99 個數額，在最「環保」的組合方式下，平均需要多少張鈔票。

接下來， Jeffrey 在電腦上把參數修改了一下，五種紙幣的面額更改為各種其他數值，讓電腦程序運行，看一看哪一種貨幣面額體系在組成99個數額的時候平均最方便、需要的紙幣張數最少。

最終結果就是前面說過的， 1-5-16-23-33 方案擊敗了我們現實生活中使用的 1-5-10-20-50 方案，也擊敗了其他各種方案，組成 99 個數額平均只需要最少的3.29張。

Jeffrey的貨幣最佳發行方案

值得一提的是，這個研究結果不僅適用於人民幣。比如目前美國的流通的硬幣主要有 1 美分、 5 美分、 10 美分和 25 美分四種，可是根據 Jeffery 的結果，要想最方便的湊齊 1 美分到 99 美分一共 99 個數額，美聯儲應該發行 18 美分而不是 10 美分的硬幣。

在加拿大，實際流通中的硬幣有 6 種： 1 分、 5 分、 10 分、 25 分、100 分和 200 分，而最小的紙幣面額是 5 加元。

這 6 種硬幣的「艱巨任務」是組成 1 到499 的數字。

Jeffery 計算出平均每筆交易會用到 5.9 枚硬幣，不過他建議在這個體系中加入一枚面值為 83 分的硬幣，這個數值就會降為 4.578 枚。

他和他的學生甚至還給 83 分的假想硬幣設計了正面和背面圖案。

不過 Jeffery 的論文在 2003 年就發表了，但到現在 83 分的硬幣還沒問世。

二進位的面值也好用

當然，最佳貨幣面額的計算方法也並非完美無瑕，一個漏洞就是 Jeffery 計算平均需要的張數的時候假定 1 到 99 個數額我們平時使用的頻率是一樣的，可現實交易中往往小的數額出現的機會更大，如果考慮這個因素，恐怕「最佳面額」結果就會有所改變。

另一方面，不只 Jeffery 一個人琢磨過這個問題，有人模仿信息編碼方式設計出一套很酷很瀟洒的貨幣面額方案。

若紙幣面額是按照二進位設置的，1元、2元、4元、8元、16元、32元、64元，雖然未必保證每次付款的時候使用的張數最少，但是神奇之處在於，每次出門的時候只要帶齊一套，每樣一張，就可以組成1到127的任意數額。

不僅如此，如果考慮了找錢的情況之後，三進位，也就是面值分別為 1 元、 3 元 、9元、27元、 81 元……也可以實現「每樣一張，找零無憂」的效果，不信你可以隨便選個數字試一下。

比如你想付款 20 元，需要做的是給收銀員一張 27 元、一張 3 元的，收銀員找給你一張 1 元的，一張 9 元的，整個交易過程中每張也只出現了一次，唯一的麻煩是三進位的鈔票計算起來有點費腦筋。

實際使用不容易

計算機人士提出各種數學遊戲式的貨幣發行方案儘管看起來很酷，真正被掌管貨幣發行的金融高富帥們採納的卻極少。

事實上，銀行在考慮發行哪些數額的紙幣的時候主要考慮的就是兩個實際因素。

第一個是貨幣面額要考慮人們日常的十進位算術習慣，如果又是最優組合，又是二進位、三進位，數學不好的人士必將苦不堪言，街邊買菜的大媽恐怕買次東西算錢也要算上幾分鐘， 5 元、 10 元、 20 元的面額在數學上未必是最佳的，但是起碼算數的時候最方便。

第二個因素是盡量少發行一些面額種類，如果面值種類很多，儘管組成任意數額都不會出現一大把鈔票的情形，但是銀行不便於管理，使用者可能自己都搞不清楚到底有哪些面額了。

要說世界上發行鈔票面值種類最多的地方當屬幾年前的非洲國家辛巴威了。

當時辛巴威國家經濟出現了崩潰，惡性通貨膨脹愈演愈烈，銀行也在濫發紙幣。哈佛大學舉辦的以「乍看之下令人發笑，之後發人深省」為宗旨的搞笑諾貝爾獎 2008 年的數學獎就授予了辛巴威國家儲備銀行行長的戈諾，頒獎理由是他居然下令印刷了1分（0.01元）至100萬億面值的鈔票，大幅提高了本國國民的數學能力。

現實中的貨幣面額大多是按照習慣和經驗而已，背後並沒有涉及到很多數學知識，世界上各國的貨幣不外乎都是1、2、5、10這類面額，本文有些異想天開的方案恐怕只能停留在數學愛好者自己想像的世界中了。

參考資料：

[1] What This Country Needs is an 18 Piece; Jeffrey Shallit

[2] Optimal Denominations for Coins and Bank Notes: In Defense of the Principle of Least Effort; Leo Van Hove

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於Albert_JIAO（果殼）

https://www.guokr.com/article/342796/

轉發、分享請隨意

轉載請聯繫原作者

-----這裡是數學思維的聚集地------

「超級數學建模」（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆了解各種思維，做個好玩的理性派。60萬數學精英都在關注！

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！