筆記：五次方程的微分方程解法

我以前一直很奇怪為什麼三次方程求根公式有兩部分構成，四次三個部分...

如果五次是不是四個部分? 這意味著什麼? 看起來很像線性結構?

最近看到一種很有趣的五次方程解法.

一定程度上解決了我的這個疑惑

求解五次方程

這個方程不可因式分解，其伽羅瓦群是亞循環群

考慮一般情況：

轉化為同解微分方程

一個簡單的線性常微分，解之得：

所以五個根就是：

這就很有趣了...這個同解微分方程怎麼得到的呢?

我找了下參考文獻

J. Cockle: Sketch of a Theory of Transcendental Roots, Phil. Mag. XX, 145 (1860)

J. Cockle: On Transcendental and Algebraic Solution, Phil. Mag. XXIII, 135 (1862)

R. Harley: On the solution of the transcendental solution of algebraic equations, Quart. J. pure appl. Math. V, 337 (1862)

以下是Cockle 與 Harley 在 1860 年左右完成的計算...

讓我們從布林傑拉德正規式開始計算

因為所有的五次方程都能轉化為布林傑拉德正規式：

我們把 x 看成 t 的函數，也就是考慮函數方程：

你這個對齊能不能再爛一點

我們希望它同解於一個微分方程：

接下來我們對(2)式反覆求導

然後把(4)式代入(3)式

然後又是很困難的一步

重新代入(5)式中，反覆代入直到沒有任何項次數高於5

然後比較係數唄...

注意到第3項係數是求不出的，這意味著線性無關(無關緊要)直接設為1即可。

然後代回(3)式得

然後求解這個方程...不說了太長了

<span style="font-size: 15px;"><img src="https://pic2.zhimg.com/v2-8cf7b3009b5c3b1d3a822e94b2e3e22f_b.jpg" data-caption="" data-size="normal" data-rawwidth="883" data-rawheight="795" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="883" data-original="https://pic2.zhimg.com/v2-8cf7b3009b5c3b1d3a822e94b2e3e22f_r.jpg"></span>

實驗代碼：

eqn=x[t]^5-x[t]+t==0;

diffeqn=Total@Table[Subscript[a,i] Derivative[5-i][x][t],] +Subscript[a,6]==0

deriv=Flatten[Table[Solve[D[eqn,],D[x[t],]],]]

algeqn=Expand[diffeqn//. deriv]

expr=FixedPoint[Collect[#,x@t]/.x[t]^i_/;i>4:>(x[t]-t) x[t]^(i-5)&,Numerator@Together[Subtract@@algeqn]];

FullSimplify[expr==0]

var=Array[Subscript[a,#]&,6];

coe=Solve[CoefficientList[expr,x[t]]==0//Thread,var]

diffeq=diffeqn//.coe

sol=First@DSolve[diffeq,x@t,t];

approximation=sol/.HoldPattern@HypergeometricPFQ[w__]->1

eqnapprox=eqn/.approximation

system=(#1==0&)/@Take[CoefficientList[eqnapprox[[1]],t],4]

coeC=Solve[system,C/@Range@4]

solfinal=sol/.coeC

Block[,eqn/.solfinal]

軟體計算時間大概一分鐘不到吧...

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於醬紫君（知乎）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/32404214

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