怪異的幾何
三角形的內角和是多少?180°。這是教科書里給出的答案，也是幾何學出現以來的這兩千多年裡，人們頭腦中唯一正確的答案。但俄國一位年輕的數學家首先打開了人們封閉的思想，帶來了幾何學上劃時代的發展。之後，有關這個問題的答案就有無數個了，也就是說，三角形內角和可以是一定範圍內的任意度數!180°的情況只是一個很特殊的情況。
讓我們一起走入怪異的幾何世界，感受這場幾何學世界裡的風暴吧。
俄國數學家的大膽質疑
上過中學的人都學過幾何學，也許現在還記得其中的一些公理或定理，比如「兩點確定一條直線」、「過直線外一點有且僅有一條直線與該直線平行(不相交)」，等等。這些是公元前3世紀一位叫歐幾里得的古代數學家總結的幾何學，是靠5個公理建立起來的。對於這些公理，也許我們從沒有懷疑過。兩千多年來，也沒有人懷疑它們，只是對於「過直線外一點有且僅有一條直線與該直線平行(不相交)」的平行公理(圖1)，人們卻不知如何去證明它，不知有多少研究者試圖證明，但都沒有成功。
1815年，年輕的俄國數學家羅巴切夫斯基(1792-1856)也想證明它，不過他並沒有去重複前人的工作，而是從前人的失敗中尋找啟迪。他發現這個公理無論怎麼證明都證不出來，於是就大膽地質疑：「有沒有可能這個公理不成立呢?」
他大膽而又創造性地假設平行公理不成立，「過直線外一點，至少有兩條直線與該直線不相交。」(圖2)他用這樣一個與平行公理對立的理論去代替平行公理，並保留歐式幾何的其它4個公理不變，然後進行推理，竟然推出了一系列怪異的結論。
比如說，三角形內角和不再是180°;存在邊長無限長的三角形……這些理論雖然怪異，但相互間並不矛盾，也不違背邏輯。這些推理完全可以自成一套新的幾何理論，很完整也很嚴密。羅巴切夫斯基把它叫做「新幾何」。
羅氏新幾何的很多結論顯然是違背傳統幾何的，因此，當時的數學家高斯把它稱為「反歐幾何」，後又改為「非歐幾何」。非歐幾何讓人們認識到，除了傳統歐式幾何外，還可以有其它的幾何，人們的思想變得活躍了，一個廣闊的幾何世界的大門被打開了。
曲面上的新幾何
要想理解非歐幾何，首先要弄清楚什麼是直線。
在傳統歐式幾何中，並沒有給出關於點或直線的準確定義，但通過很多理論的表述，可以理解為直線是兩點間最短的線。由此可見，直線未必就不是彎曲的。比如說，光線的傳播走的都是最短的直線距離，但光線傳播的軌跡因時空的不均勻，往往是彎曲的。
除了高斯之外，最早能夠理解非歐幾何的是義大利數學家貝爾特拉米，他在1868年找到了一種像兩個喇叭對扣的曲面(圖3)，在這種曲面的部分區域上，適用於非歐幾何，從而使其他數學家對非歐幾何也能理解。其實類似馬鞍面的雙曲面(圖4)就可以完全適用於非歐幾何。
很顯然，馬鞍面上的點、線、面之間的關係確實是羅巴切夫斯基所描述的那樣：
兩條平行線，在一側無限接近，而在另一側無限遠離;
三角形的三個內角之和小於180°;
存在邊長無限而內角和為零的三角形(圖5)。
除此之外，還有許多怪異的現象。比如，在歐式幾何中，垂直於同一直線的兩條直線互相平行，而在非歐幾何中，垂直於同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，相互間可以越來越遠離;在歐式幾何中，存在相似的多邊形，而在非歐幾何中，不存在相似的多邊形;等等。總之，在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的理論，在非歐幾何中都不成立，它們都相應地有新的含義。
球面幾何才更符合實際
其實說起非歐幾何，人們首先想到的是黎曼幾何，黎曼幾何因被愛因斯坦用來創立著名的廣義相對論而出了名。
黎曼幾何是非歐幾何進一步發展的形式，適用的範圍更大，它包括前面的雙曲幾何的情況，除此之外，還有封閉曲面上的幾何，例如橢圓面幾何、球面幾何等。其中以球面幾何最令人關注。
球面幾何在我們看來也是非常怪異的幾何，有很多怪異的理論，例如：直線的長度是有限的，封閉的;兩點之間最短的線不是直的，而是弧線;過某些特殊的兩個點，可以有無數條直線;過直線外一點，沒有直線與該直線平行;任意兩條直線必相交於兩點，沒有平行的概念;三角形內角和大於180°;不存在相似的三角形;等等。
讀者可以在球面上試驗一下這些結論，確實是這樣的。因為球面上的直線就是一個大圓(過球心的平面與球面相交的圓)，是封閉的，所以球面上兩點間最短的線(即球面幾何里的直線定義)是大圓上這兩點之間的弧;同時，球的直徑與大圓會有兩個交點，通過這兩個點可以作無數條直線(大圓)，就像通過地球南北極可以有無數條相對應的、能把地球平均分成兩半的經線一樣;如果在經線之外有一個點，通過這一點，我們所作的直線可以有無數條，都是與這條經線相交的，沒有平行的，並且有兩個交點;而且，無論怎麼畫，在球面上畫出的三角形內角和都是大於180°，如東經1°和2°的經線與赤道線會形成大小兩個三角形，小三角形的頂角是1°，兩個底角都是90°，所以小三角形內角和是181°。而外面的大三角形的頂角是359°，兩個底角都是90°，所以大三角形的內角和是539°;而0°與東經180°形成的三角形的頂角是180°，兩個底角都是90°，所以這個三角形內角和是360°。
其實宇宙中大部分天體都是球體，牽扯到這些天體的幾何學，需要用球面幾何。我們的地球本身就是個球，應該適用球面幾何，為什麼我們長達2000多年堅持歐式平面幾何，甚至非平面幾何出現後，我們還很不理解呢?
也許相對於渺小的我們來說，地球太大了，用平面幾何來近似處理地球上小範圍的尺寸也沒有明顯的誤差，於是也就想當然地以為歐式平面幾何是唯一正確的幾何了。其實不然。
把地球表面投影到圓柱上
隨著非歐幾何出現，19世紀還出現了一種幾何叫射影幾何。這種幾何是非常貼近生活的，它研究的是投影現象，比方說，有一盞燈, 它照射在透明玻璃上, 那麼玻璃上的圖形在地面上的投影是怎樣的?
例如，如果玻璃不平行於地面, 玻璃上兩條平行直線在燈光下的投影可能不再平行;玻璃上的圓在燈光下的影子一般不再是圓, 而是橢圓;更奇異的是，如果玻璃足夠大，它上面的一個圓也足夠大, 玻璃豎立起來後，如果燈的高度不超過圓的高度，那麼這個圓在地面上的投影就會是雙曲線的一支!在射影幾何中，橢圓、雙曲線、拋物線都是「全等」的圖形，可以通過調節燈光的角度，讓它們相互變換，例如圓的影子在一定情況下就可以是一條雙曲線，而且調節燈光的角度，還可以讓影子雙曲線變大、變小，或改變形狀。
還有一種射影幾何，是研究無限遠燈光投影下的圖形是怎麼變化的。如果把上面的燈換成太陽, 由於距離地球很遠，在小範圍內可以看做平行投影，玻璃上兩條平行直線投影到地面上也會是平行直線，玻璃上的圓會投影為橢圓, 但決不會是雙曲線。
射影幾何是非常有趣的幾何，普通的物體可以有怪異的投影，完全不同的物體，也許投影卻是相同的。
在地圖的繪製上，射影幾何很有用，因為地圖的繪製都需要一定的投影規則，例如航海上常用的墨卡托投影地圖，就是假設地球被圍在一中空的圓柱里，赤道線與圓柱壁垂直，然後再假想地球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱面上，再把圓柱面展開，得到地圖。這種地圖優點是把球面變成平面，比較直觀。缺點是靠近赤道線的比較符合實際，但越靠兩極就越走樣了。
無限周長，面積有限
20世紀70年代，出現了一種更怪異的幾何——分形幾何。「一個有限的面積，卻有著無限長的周長」和「一個物體有著無限大的表面積，體積卻為零」，這兩種情況可能讓人難以理解，但在分形幾何里，這樣的情況卻比比皆是。
取出筆和紙，讓我們現在就來畫一個有著無限周長的圖形(有限面積當然不用說了，你不可能拿出一張面積無限大的紙)。
第一步：畫一個等邊三角形。
第二步：把每條邊三等分。
第三步：以中間的那條三等分線段為底邊，向外畫一個小的等邊三角形。
第四步：畫完之後，把這條底邊擦去。
不停地重複以上第二到第四個步驟，你將得到一個雪花形狀的曲線;重複無限多次，得到的曲線在數學上叫科赫曲線。
我們來看一下科赫曲線有什麼特點。首先，每重複操作一次，它的周長就擴大4/3倍，重複n次，其周長將是最初周長的。當n趨向無窮時，其周長也趨於無窮大。
但是，它所包圍的面積卻增加得並不多，永遠不會超過以原先三角形中心為圓心，中心到頂點的距離為半徑的圓的面積。這一點，你在畫圖的時候可以驗證。經過簡單計算可以得到，當n趨向無窮時，科赫曲線所圍的面積是最初三角形面積的8/5倍。
你瞧，科赫曲線就是這樣一個例子：它有著無限長的周長，但同時所圍的面積卻是有限的。
如果把科赫曲線的任意一個微小部分放大，你會看到，不論這個部分有多麼小，它的形狀都和整體相似。這是分形幾何圖形的一個特點：不論怎麼複雜，局部總與整體相似;適當地放大或縮小几何尺寸，整個結構不變。這叫自相似性。
其實，自相似性對於我們並不陌生。生活中很多事物都具有自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相似的磁場。
海岸線長度取決於尺子
我們在中學地理課上大概都學過，我國大陸海岸線有18000多千米，島嶼海岸線有14000多千米……不過，這種說法可靠么?
為什麼要提這個問題呢?看了下面這個例子你就知道了。
1920年代，一位英國科學家在調查海岸線和曲折的國境線時感到十分困惑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利時等國的百科全書，發現這些國家對共同邊界長度的估計相差20%。原因何在?原來是這些國家傳統上所用的長度標準不同造成的，換句話說，即使同一段邊境線，測量時若所用的尺子長短不一，也會造成很大的測量誤差。
這個道理是比較明顯的。我們試想：一個測量員拿著一隻兩腳規，把它張成一米寬，去一步步測量一條海岸線。對於他來說，即使連接相鄰兩點的是一條彎彎繞的曲線，但在測量過程中，也被當作一條直線忽略過去了。這樣，他測量得到的海岸線長度肯定要比實際的短。
如果他把圓規張成1/10米寬，那麼他的測量就會反映出更多的細節，這時他測得的海岸線長度將比以1米為單位測得的長度要長。
如果他把圓規張成1/100米寬，那測得的海岸線長度將更長……總之，他用的測量尺子越小，所測量到的海岸線長度就越長。
那麼，測得的海岸線長度在不斷增長，最後會不會趨於某個固定值呢?不幸的是，美國數學家曼德勃羅卻證明，當把所用的測量尺子變小時，海岸線長度根本不會趨於某個固定值，而是會無限地上升，當尺子變得無窮小時，海岸線就變得無限長了。
其實這個結論我們也可以在科赫曲線中找到。假設等邊三角形原先的邊長是1米，那麼我們用1米的尺子去測量科赫曲線，其周長是3米，中間我們忽略了所有的細節;當我們用1/3米的尺子去測量，稍增加了一點細節，其周長是4米;當用1/9米的尺子去測量，其周長是16/3米;當用米的尺子去測量，其周長是米;當n趨於無窮，尺子變得無窮小，包含的細節越來越多，結果其周長也趨於無窮大了。
海岸線與科赫曲線的相似之處在於，經過海水長年的侵蝕，在海岸線上，凹凹凸凸的地方特別多。隨著測量越來越精細，海岸線長度就會成千上萬倍地增加，而不僅僅只是在小數點後面修正幾個數字的問題。
所以你看到了吧，泛泛地說海岸線多長是沒有意義的，海岸線的長度依賴於測量時所用的尺子。
維度也可以是分數
分形幾何還改變了我們對維度的認識。
眾所周知，傳統的觀點認為，維度都是整數：點0維、直線1維、平面或者球面2維、我們所生活的空間3維，在相對論里，時間和空間被統一成了一個整體，所以時空是4維的……在超弦理論里，甚至還有10維的高維空間。但不管怎麼說，維度都是整數。
分形幾何學認為，不僅一些量的值(比如海岸線長度)與測量關係密切，連維數也與測量有關。譬如，當我們畫一根直線，如果用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點;如果用一塊平面來量它，其結果是0，因為直線中不包含平面。只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，這裡，直線的維數為1(介於0維和2維之間)。
對於上面提到的科赫曲線，其整體是一條無限長的線摺疊而成，顯然，用小直線段度量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0，那麼可見其維數介於1和2之間。在分形幾何學裡，有嚴格的維數計算辦法。譬如，根據計算，科赫曲線的維數是一個分數，其值是大約是1.26。維度可以是分數，這是分形幾何帶給我們的一個全新的觀念。
我們還可以這樣去理解分數維度。曼德勃羅曾描述過一個毛線球的維數變化：從很遠的距離觀察，比如坐飛機從高空看，這個毛線球可看作一個0維的點;從較近的距離觀察，它是3維的一個球;再近一些，比如你化作一隻螞蟻，沿著毛線爬，那它又變成1維的一根繩子了;如果你變得再小呢，這根繩子對你來說太粗，又變成了3維的柱子……總之，維度隨著你觀察的遠近和自身大小在不停變化。那麼，介於這些觀察點之間的中間狀態又如何呢?
顯然，毛線團並沒有從3維變成1維的確切界限，在過渡的狀態中，它的維度就變成了分數。
在大自然中，不僅海岸線，雲朵、山脈的輪廓線、閃電、雪花，甚至花椰菜都具有分數的維度。因為用分形幾何來描述這些自然物更加準確，所以分形幾何被喻為「大自然自身的幾何學」。
前面談到的這些怪異的幾何，幾乎都可以在現實世界裡找到事物來對應。其實並不是幾何很怪異，而是我們「沒見過世面」，按傳統平面幾何的思維邏輯來理解世界，遇到反映現實世界的幾何，反而覺得怪了。
恰恰相反，歐氏平面幾何才是最特殊、最理想狀態的「怪異」幾何，因為現實宇宙中幾乎沒有真正的平面。可有趣的是，我們不僅在2000多年的時間中只使用平面幾何，而且現在還少不了它，原因是平面幾何相對簡單，有時候我們也不求精確，只要能近似簡單化處理問題就行了。
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