立交橋布局中的曲線之美（上）

知識 07-08

作者 | 蔣迅

本文發表在《數學文化》第9卷第2期，作者為蔣迅，好玩的數學獲作者授權發布，特此感謝！

1. 引言

隨著高速公路建設的飛速發展，我們在日常生活中所見到的高速公路立交橋越來越多，而且式樣也是越來越多。立體交叉是車輛彙集、分叉和轉向的核心部分。立交橋的設計的好壞直接影響到行車速度和行車安全。

1922年，法國著名的規劃思想家、現代建築運動創始人之一勒·柯布西埃（Le Corbusier）出版了一本《明天的城市及其規劃》（The City of To-morrow and its Planning），在城市規劃研究中首先提出多層、高速的公路立體交叉的思想。現在，立體交叉已經從城市發展到了高速公路。高速公路上的互通式立交橋由高速公路的基本路段、立交橋、匝道、交織區、收費口、監控系統和服務設施組成了一個綜合體系。

立交橋的設計不僅體現在它的科學性，也體現在它的美觀性。美觀的立交橋也會讓機動車駕駛員感到有所是從和和有所準備，為駕駛更添一份安全因素。本文以立交橋布局設計中的曲線之美為線索，聊聊相關的數學知識，並用和這兩個數學軟體製圖，為讀者在以後的旅途中增加一些樂趣。

在公路運輸領域裡，交匯處通常使用立體化和一個或多個匝道（引道）來實現至少一條高速公路上的交通能通過交叉口而不直接穿過任何其他交通車流。在這裡，立交橋扮演著重要的角色。最常見的四方向高速公路立交橋有苜蓿葉型、環狀型、渦輪型、風車型和環路型等，另外還有它們的一些混合型。我們來一一介紹。由於國際上有靠右和靠左行駛兩套系統，而且高速公路與鐵路和市區公路也有立交，以下我們只考慮靠右行駛道路並只考慮有四個方向的高速汽車公路的立交橋設計。

2. 苜蓿葉立交橋型

最典型的是苜蓿葉型（cloverleaf interchange）。在這裡「cloverleaf」，我們指的是「four-leaf clover」這種植物。苜蓿葉型也稱為四葉型和幸運草型。典型的苜蓿葉型交匯有兩層，這樣使得所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環形匝道來避免，也就是說，讓左轉車輛行駛約270度的環道後自右側切向匯入高速公路。這四條環形匝道就形成了苜蓿葉的形狀。苜蓿葉型的優點在於它只需要一個立交橋，也就是兩層交通。因此建設經費較少。但是這樣的交叉口佔地面積大，路線迂迴較長。更嚴重的是兩環間的路段也容易形成交織路段，直行車輛易受轉向車輛干擾，影響了高速公路的運載能力。筆者曾經遇到一位老年婦女在直行道上想上環形匝道卻又無法上去結果停在了直路中間，結果躲閃不及而追尾。

這種立交橋最早是美國新澤西州Woodbridge的兩條道路交叉處。這也是世界上的第一座立交橋。該立交的平均通量為每晝夜達62500輛，高峰小時交通量達6074輛，即每分鐘大約可容許100輛汽車通過。苜蓿葉式在全世界各地都很多。比如下面的南京繞城高速和玄武大道立交(圖1(b))。

圖1.(a) 苜蓿葉型立交橋的布局。

圖1.(b)南京玄武大道立交

植物學上，「clover」是三葉草。在西方很多國家（如英國、美國）長有四片葉子的三葉草。四葉草是三葉草的稀有變種（圖2(a)）。據說大約一萬至十萬株三葉草中才會有一株是四葉的。西方人認為能找到四葉草是幸運的表現，在日本則認為會得到幸福，所以又稱「幸運草」。人們對這四片葉子也賦予了含義。有一種說法是：第一片葉子代表希望（hope）、第二片葉子表示信心（faith）、第三片葉子是愛情（love）、而多出來的第四片葉子則是幸運（luck）的象徵。

圖2. (a) 四葉草。

圖2.(b) 四葉玫瑰線。

圖2.(c) r = 5cos(nθ)

數學上，我們把這樣的曲線叫做「四葉玫瑰線」（Quadrifolium）。它是由極坐標方程生成的。顯然這是當 n = 2 時的玫瑰線 r = acos(nθ)。我們可以很容易地將「四葉玫瑰線」的極坐標方程轉換成直角坐標方程 (x2 + y2)3 = 4a2x2y3。所以它是一個幾何虧格為零的代數曲線。但如果我們需要計算它所包含的面積的話，那麼還是採用極坐標來計算為宜：

當我們考慮曲線的長度時，則需要用到第二類橢圓積分了。在這裡我們只給它的近似值：s = 9.86884…a。有人說它像是中國結，也有道理。的表達式是 PolarPlot[Cos[2t],]。建議讀者到網站上去做出 r = 5cos(nθ) 的圖像並讓 n 變動起來，看看能得到一些什麼圖像。用做動態模擬時的表達式為：

Manipulate[PolarPlot[5Cos[nt],,PlotRange?5],]

圖2(c)是它的效果圖。

3. 環狀型立交橋

第二種立交橋是環狀型（stack interchange）。環狀型也稱為定向式（directional interchange）。中文的「環狀」與英文的「stack interchange」並沒有直接的聯繫。「stack」的意思是堆，疊加的意思。取這個名字是因為環狀型多為數層疊加的原因。所以翻譯成「多級立交」更為合適。筆者更傾向於稱之為定向式，因為它讓左轉的車輛保持了左轉，而不會像上面苜蓿葉型那樣通過右轉來實現左轉。左轉和右轉車輛都先從最右車道上匝道，然後二者分離，左轉車輛到相對象限里匯入到那裡的右轉車輛所在匝道，然後一起併入住主車道。環狀型立交沒有苜蓿葉型容易產生車流交織的缺點，也無需做270度的轉彎，但其立交橋層數多，一般多為三層，也有四層和五層的例子, 因此造價相對昂貴，也容易產生視覺上的景觀衝擊。筆者第一次見到這樣的高速系統是在休士頓。那時候中國還完全沒有高速公路的概念，所以見到這樣的大型立交橋時覺得非常震撼。

第一座四層定向型立交橋在美國洛杉磯市，是州際I-10和US101的交匯處。它的第二、第四層為主幹線，每層有六個車道；第一、第三層為左轉匝道。其最上一層高出地面14.4米，最下層低於地面6.6米。幹線設計車速96公里/小時，匝道設計車速55公里/小時，交通量達75000-100000輛/晝夜，耗資約280萬美元。現在在中國也有這種立交模式，比如上海延安東路就有這樣一座環狀型立交橋（圖3(b)）。

圖3.(a) 環狀型立交橋的布局。

圖3.(b) 上海延安東路的環狀型立交橋

不同於苜蓿葉型立交橋，我們沒有找到一條漂亮的數學曲線來代表這種形狀的立交橋。最接近的應該是「內旋輪線」（Hypotrochoid）。給定一個半徑為 R 的褂訕的大圓和一個內切於大圓的半徑為 r 的小圓，從這個小圓的圓心出發做一個褂訕在小圓的射線，然後在這條射線上取一個點 P，點 P 可以在小圓之外。點 P 到小圓中心的距離為 d。當這個小圓沿著大圓的內邊滾動時，點 P 的軌跡就叫作「內旋輪線」。這個曲線的參數方程是：

注意雖然我們把滾動的圓稱為小圓，其實我們並不假定r

圖4. 取不同參數時的內旋輪線。

內旋輪線在中的一般表達式是

使用上面的表達式以及中的 Table，ParametricPlot 和 Grid 等指令，我們就得到了上面的圖4。

注意當R = 1，r = 3/4，d = 5/13時，「內旋輪線」最接近於環狀型立交橋。所不同的是，立交橋的四個「葉子」是尖狀的，而「內旋輪線」是光滑的。匝道在接入主線時必須是與主線相切地接入。

既然我們不能用一個數學方程來描述環狀型，那麼我們乾脆把四個左轉匝道單獨出來，然後只看其中一段。其他匝道都可以通過旋轉變換來實現。讓我們單獨出其中的由東向南的一段左轉路線來。對於這樣的路線，最好的數學公式恐怕是貝濟埃曲線（Bezier curve）了。如下圖所示，貝濟埃曲線可以在給定的兩個點上按一點的方向連接，而這正好是匝道接入主線時所要求的。

圖5.(a) 環狀型立交橋由東向南的一段。

圖5.(b) 貝濟埃曲線示意圖。

圖5.(c) Wolfram給出的一個圖案。

Wolfram用貝濟埃曲線做出了許多漂亮的花型圖案。但這些圖案都不能滿足我們這裡的要求（圖5.(c)）。

我們還可以再進一步，將上面的曲線做一個45o逆時針轉軸。於是我們看到的是近似於一條橢圓曲線（elliptic curve）。數學上，橢圓曲線是一個由代數方程定義的曲線。下面圖6(b)是當 a = 1 和 b = 4 時的橢圓曲線，是用製作的。用製作也很簡單，我們略過。基於橢圓曲線數學，人們開發了一種建立公開密鑰加密的演算法。