聽說，做數學題是真的可以上癮的

01

有意思的是，在數學歷史上，一些很簡單的結論竟然幾百年來都未曾發現。

直到 1977 年， Paul Erd?s 和 George Szekeres 才發現，除了兩頭的 1 以外，楊輝三角同一行內的任意兩個數都有公因數。證明這個結論。

答案：

只需要注意到， a 乘以一個比 b 小的數之後還能成為 b 的倍數，這說明 a 和 b 一定有公因數。

不妨設 0

C(n, j) · C(j, i)

= n! / (j! (n - j)!) · j! / (i! (j - i)!)

= n! / (i! (n - j)! (j - i)!)

= n! / (i! (n - i)!) · (n - i)! / ((j - i)! (n - j)!)

= C(n, i) · C(n-i, j-i)

02

2 的 5 倍是 10 ， 3 的 37 倍是 111 ， 4 的 25 倍是 100 。

是否對於任意正整數 n ，都能找到一個 n 的倍數，它全由數字 0 和 1 構成？

答案：是的。

考慮數列 1, 11, 111, 1111, … 。它們除以 n 的餘數只有 n 種可能，因此前 n+1 項中一定有兩項，它們除以 n 的餘數相同。這兩項的差即滿足條件。

03

或許大家常會注意到這麼一個有趣的事實： 111 能被 3 整除。是否存在無窮多個正整數 n 滿足， n 個 1 所組成的 n 位數能被 n 整除？

答案：是的。

我們只需要證明，若 n 個 1 所組成的 n 位數能被 n 整除，則 3n 個 1 所組成的 3n 位數能被 3n 整除。

這是因為 11..11 11..11 11..11 可以寫成 11..11 * 1 00..01 00..01 ，其中前者含有因子 n ，後者顯然含有因子 3 。

04

是否對於任意正整數 n ，都能找到一個 n 的倍數，它含有從 0 到 9 所有的數字？

答案：是的。

假設 n 是一個 d 位數，那麼 1234567890·10d+ 1 和 1234567890·10d+ n 之間一定有一個數是 n 的倍數，它顯然滿足要求。

05

對任意一個正整數集合 A ，令 S 為 A 中的數兩兩相加可能得到的所有和所組成的集合，令 D 為 A 中的數兩兩相減可能得到的所有差所組成的集合。

例如，若 A = ，則 S = ， D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 。

證明或推翻： D 中的元素個數不可能少於 S 中的元素個數。

答案：這是錯的。

目前已知的最小反例為 ，這 8 個數能產生 26 種和，但只能產生 25 種差。

06

多項式 p(x) = (1/2)x2 – (1/2)x + 2 滿足 p(1)=2 、 p(2)=3 、 p(3)=5 。

是否能找到一個整係數多項式 q(x) ，使得 q(1)=2 、 q(2)=3 、 q(3)=5 ？

答案：不能。

事實上，連只滿足 q(1)=2 、 q(3)=5 的整係數多項式都不存在。假設 q(x) = a1+a1·x +a2·x2 + … + an·xn，則

3 = 5 – 2 = q(3) – q(1) = (3-1)a1+ (32-1)a2+ … + (3n-1)an

由於 3k– 1 總是偶數，因此等式右邊一定是偶數，它不可能等於 3 ，矛盾。

07

假設 P(x) 是一個 8 次多項式，且 P(1)=1, P(2)=1/2, P(3)=1/3, …, P(9)=1/9 。求 P(10) 。

答案：

由條件可知 1, 2, … ,9 是多項式 x·P(x) – 1 的 9 個根。

因此， x·P(x) – 1 = c(x-1)(x-2)(x-3)…(x-9) 。

對比常數項可知 -1 = -c·9! ，因此 c=1/9! 。

因此， 10·P(10) – 1 = 9!/9! = 1 ，所以說 P(10)=1/5 。

08

把楊輝三角寫成方陣：

1 1 1 1 1 …

1 2 3 4 5 …

1 3 6 10 15 …

1 4 10 20 35 …

1 5 15 35 70 …

…

…

證明：對任意正整數 n ，方陣的前 n 行 n 列組成的矩陣，其行列式總為 1 。

答案：

對 n 施歸納。

當 n=1 時，顯然成立。

考慮方陣的前 n 行 n 列，若每一行都減去它的上面一行，就變成了：

1 1 1 1 1 …

0 1 2 3 4 …

0 1 3 6 10 …

0 1 4 10 20 …

0 1 5 15 35 …

…

…

再把每一列都減去它的前一列：

1 0 0 0 0 …

0 1 1 1 1 …

0 1 2 3 4 …

0 1 3 6 10 …

0 1 4 10 20 …

…

…

顯然其行列式與 n-1 階時相同

09

一個機器洗牌時總是以相同的方式打亂牌的順序。把

A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

放進去，用機器連續洗兩次牌之後，順序變為了

10, 9, Q, 8, K, 3, 4, A, 5, J, 6, 2, 7

求機器第一次洗牌之後的順序。

答案：

可以把這個洗牌機看作一個置換 σ ，則 σ2 為

184713592123611101

由於 σ2 不能分解成若干個不相交循環，因此 σ 也不可能有多個循環。

但這就表明連續洗牌 13 次所有牌又會回到原位，因此洗一次牌相當於 (σ2)7，即

128124376131151091

因此所求的順序為

9, A, 4, Q, J, 7, 3, 2, 10, 5, K, 8, 6

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於

http://www.matrix67.com/blog/archives/3172

轉發、分享請隨意

轉載請在公眾號中，回復「轉載」

------這裡是數學思維的聚集地------

「超級數學建模」（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆了解各種思維，做個好玩的理性派。60萬數學精英都在關注！

「徵稿啟事」

超級數學建模現正式向粉絲們公開徵稿！內容須原創首發，與數學、物理相關（2000~3000字），一經採用，會奉上豐厚稿酬。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！