本體論視域下數學實在論的嬗變與評述

原標題：本體論視域下數學實在論的嬗變與評述

本體論視域下數學實在論的嬗變與評述黃秦安

作者簡介：黃秦安(1962 - )，男，陝西西安人，陝西師範大學數學與信息科學學院教授、博士生導師，研究方向為數學哲學與科學哲學（西安 710062）。

人大複印：《科學技術哲學》2013 年 10 期

原發期刊：《科學技術哲學研究》2013 年第 3 期 第 7-12 頁

關鍵詞：本體論/ 數學實在論/ 柏拉圖主義/

摘要：本體論視域下，數學實在論經歷了複雜的歷史演化。柏拉圖主義和新康德主義曾經獲得不少數學家和數學哲學家的青睞。20世紀中葉之後，奎因和普特南所主張的物理主義和哥德爾倡導的新柏拉圖主義吸引了不少追隨者。20世紀下半葉，瑪戴和達米特等人所表述的對於數學實在的見解也都有新的特色。多樣的理論見解表明探索數學實在論問題的難度，其間的嬗變和複雜關聯也折射出數學本質演變和數學知識發展的特點。

數學本體論是數學哲學的首要研究問題，也是歷來爭議較大的數學哲學話題之一。歷史上曾形成了不少關於數學本體論的傳統見解，20世紀以來，隨著絕對主義數學觀的衰落，關於數學本體論也有了許多新的認識。然而，由於數學本體論問題自身的複雜性，加之研究者各自不同的視角和立場，致使關於數學本體論的認識難有一致的意見。因此對各種紛繁複雜的文本和觀點進行一些梳理就顯得十分必要。

一、數學本體論的柏拉圖主義與新康德主義

在數學本體論的各種具有影響的傳統觀念中，主要有由來已久的柏拉圖主義和康德主義。柏拉圖主義者相信數學是獨立存在於人類思維和認識之外的某個理念世界的。進入19世紀，數學知識的演變呈現出許多新的形式，柏拉圖主義數學理念以各種變式呈現。數學家埃爾密特在給數學家斯蒂傑斯的一封信寫道：「我相信，數和分析中的函數不是我們精神的任意產物，它們在我們之外存在著，並且和客觀實在的對象一樣，具有某種必然性的特徵。我們找到或發現它們、研究它們，就和物理學家、化學家及動物學家所做的事情一樣。」[1]332集合論的創立者康托爾也認為數學家的工作是發現而不是發明。而被發現的數學是獨立於人類思想之外的。

英國著名數學家哈代可以看做是20世紀數學客觀主義的代表人物。1929年，哈代在一篇文章中寫道：「在我看來，如果一個數學家不以這種或那種方式承認數學真理的不變性和絕對正確性，那就不會有一種哲學同情他。數學理論是對是錯，它們的真理性或謬誤性是絕對獨立於我們對它們的認識的。在某些意義上，數學真理是客觀現實的一部分。」[1]332在《一個數學家的辯白》一書中，哈代也聲稱：「我認為數學的實在存在於我們之外，我們的作用是去發現它或觀察它，那些被誇張地描述成我們的『創造物』的定理，僅僅是我們觀察的記錄。」[2]哈代的觀點本質上是數學實在論的典型體現。

與柏拉圖主義不同，康德主義相信數學是人類理性、直覺與思維的產物。其特點是否認或貶低數學的經驗性質，而特彆強調其先驗性質。在1836年，四元數的發明者，英國數學家哈密爾頓就提出：「代數和幾何這些純數學化的科學，是純粹理性的科學，其從經驗中取之甚少，它是孤立的或者至少是孤立於外部世界的偶然現象……它出自於我們內心的思想。擁有它們只是我們先天能力的結果，是我們特有的人性的展現。」[1]331

英國數學家凱萊在1883年的一次演講中說道：「我們……擁有先驗知識，它不僅不依賴於某一經驗，而且獨立於一切經驗……這些認識是思維對於經驗的解釋作出的貢獻。」[1]331戴德金在一封信中談到：「我們通過數所理解的並不是事物本身，而是一種新的東西……它是思維所創造的。我們是上帝的兒子，我們擁有……創造的能力。」[1]334其他還有像數學家維爾斯特拉斯、哲學家維特根斯坦都表達了數學是人類創造物的思想。以布勞威爾為代表人物的直覺主義者所堅持的也是一種基於人類直覺的數學觀。

在一般哲學中，被稱為新康德主義的哲學學派也試圖給出自己關於數學的見解。在20世紀初，新康德主義曾在德國哲學中佔據統治地位。[3]100其代表人物有卡西雷爾(Cassirer)、那托普(Natorp)和科恩(Cohn)。新康德主義採納康德的基本原則并力圖超越之。與羅素數學哲學思想的論爭是新康德主義思想的一個重要組成部分。基於把數學劃歸為邏輯的主張，羅素在其邏輯主義的構造中排除了康德賦予數學的直覺因素，而卡西雷爾和其他新康德主義者不同意羅素的邏輯主義觀及其對康德數學哲學的批評。總體上，儘管對羅素的關係運算予以讚揚，新康德主義並沒有給數理邏輯以很高的評價。新康德主義特別對羅素把未定義概念和未證明命題作為邏輯的基礎提出批評。[3]108

新康德主義也贊成數學的觀念應該建立在某種邏輯基礎上，但其邏輯基礎觀念是不同弗雷格和羅素的。一個重要區別是新康德主義者關於邏輯這一術語的理解與以羅素為代表的邏輯主義者十分不同。具體看來，首先，羅素認為數學的邏輯基礎可以通過數理邏輯加以構造，而新康德主義者則相信可以藉助於先驗邏輯來構造數學的邏輯基礎。其次，儘管新康德主義認為數學應該建立在某種邏輯基礎之上，但數學與邏輯這兩門科學應該嚴格區分開來。而邏輯主義綱領卻將兩者的劃界給抹煞了。[3]109新康德主義尤其對邏輯主義者把數定義為關於類的做法提出了批評。認為從類的概念導出數概念是以待解決的問題為根據的(petitio principii)，換句話說，在類概念中已經預設了數概念的存在。

那麼，新康德主義的數概念是如何建立的呢?卡西雷爾把其數理論建立在對於自然科學和數學中概念的分析基礎之上。通過分析，卡西雷爾認為在自然科學和數學研究過程中，物概念被關係概念取代是一個突出特點。按照卡西雷爾，數概念是通常合理方法的第一和最真實的表述。而數不僅是純粹思想的產物，還是真實原型的產物。「連續序列的原則」(the principle of serial order)可以在順序數的序列中找到其最初和基本的表述。數和數學的可能性依賴於純粹理解的創造性綜合的假設。進而，在卡西雷爾看來，數學可以被定義為次序的科學。[3]112

那托普把數看做最純粹和最簡單的思想的產物。那托普認為，對數的邏輯理解的第一個前提是要洞察到數與任何存在物毫無關係而只與思想的純粹規則性有關。對思想而言，沒有任何東西比思想本身的綜合統一和關係的安置更為基本。在科恩那裡，自然數是可能的最抽象的對象。任何可思考的事物都可以是一個對象，每一個對象都有兩個要素：思維形式和客觀性。思維形式屬於任何對象，科恩稱之為「安置」(positing)，可以描繪為任何事物都由自身所確定。而與對象的思維形式相比，任何個體對象的客觀性都是某種新的和外來的東西。對自然數來說，它是具有確定性思維形式並具有最少的客觀性的對象。科恩認為自己的自然數理論預設著任意對象形成的可能性，即構造任意多的對象的可能性。[3]112-113

二、數學實在論的復興：奎因和普特南的「物理主義」與哥德爾的「新柏拉圖主義」

隨著邏輯實證主義的衰落，哲學家們試圖構造一種新的科學哲學，並期望它既不是形而上學的，同時又避免邏輯經驗主義原則的錯誤。一種「新柏拉圖主義」的數學實在論是值得注意的，「其中有兩種傾向，一是以奎因、普特南為代表，另一個是哥德爾為主要代表。」[4]1130

奎因因持有一種「科學整體論」的思想而聞名。「奎因指出，就科學理論的檢驗而言，我們不應就各個孤立的命題去進行考察，而應把全部科學看做一個整體。」[5]76這種「科學整體論」的思想自然也包括數學，奎因認為：「對於現象論來說，根據嚴格的物理主義的概念體系……柏拉圖主義的本體論……就像物理主義的概念體系本身一樣是一種神話。然而，到目前為止，這種高級神話在我們簡化物理學的說明方面是完善的和有效的。」[6]76-77

普特南持有與奎因幾乎相同的見解：「對於科學來說，數學本體是不可缺少的。……這允許我們接受數學實體的存在。當然，這種論證導源於奎因，他多年來強調數學實體的不可缺少性，同時也強調了否認人們日常預設的東西存在的理智的不誠實性。」[6]77

普特南的數學實在論思想是其整個科學實在論思想的一個有機組成部分，是其科學實在論思想在數學領域中的推廣和深化。其基本特點就是經驗實在論。但普特南既不是一個傳統實在論的本體論者，又不是一個邏輯經驗主義者和純形式主義者，而是力圖把實在論和經驗主義加以結合。在對數學的認識中，普特南表達了對於數學真理客觀性的直接肯定。

普特南認為，數學的客觀性應當由數學的實在論加以解釋。由於大部分的數學概念都可以藉助於集合的概念得到定義，普特南就把那種直接肯定了數學對象存在性的觀點稱為「關於數學的集合—對象觀點」。由於「集合—對象觀點」基本上是一種柏拉圖主義的本體論，因此普特南並沒有簡單地予以接受，而是發展起了所謂的「關於數學的模態—邏輯觀點」。「按照這種觀點，數學並不具有自己的特殊對象，而只是藉助於特定概念對普遍事物的研究。這也就是說，『數學根本不具有自己所特有的對象。你可以就你所樂意討論的任何對象——雨天、紙上的痕迹、圖像、直線或球體——去證明定理……數學家並沒有作出任何存在性的斷言，而只是表明什麼是可能的，什麼是不可能的。』顯然，按照這樣的觀點，數學在本質上就是模態的，而非描述性的。」[5]79普特南認為這樣就徹底地解決了數學的本體論問題。與柏拉圖主義的實在論相比，普特南的經驗實在論只是肯定了數學的客觀性，而沒有對數學對象的實在性作出任何斷言。

當奎因和普特南把數學實在論觀念以及數學實在的存在性和合理性建立在物理學和科學的實在性基礎之上時，同時留下了一些理論疑難。第一，否認了數學與一般科學(如物理學)的本質差異。這也就是奎因科學整體論的理論疑難之一。第二，通過轉換，數學的實在論問題被化解為科學的實在論問題。但科學的實在論問題卻依然沒有獲得很好解決。第三，數學自身的實在性問題有時候並不能被轉化為諸如物理學的有效性問題。因為相當一部分數學知識並不具有物理學的和經驗的背景。這部分數學實在性問題就成了經驗實在論的一個認識盲點。

與奎因和普特南的做法相反，「哥德爾式的柏拉圖主義是從研究數學的數學家的實際數學經驗出發的……哥德爾指出，我們的基本的數學假設，公理，經常『強迫我們接受它們為真』。」[4]1133所以，在哥德爾看來，作為數學基礎的集合論的基本公理是直覺地明晰的。哥德爾認為：「對於集合的假設就像對物理客體的假設一樣，是十分合理的，也同樣存在著充分的理由去相信它們的存在。在一定意義上講，獲得一種令人滿意的數學實體是必然的，正像對於一個令人滿意的感覺理論來說，物理客體是必然的一樣。」[6]77但是，與奎因和普特南訴諸物理學的企圖形成鮮明對比的是，「哥德爾給予純數學的辯護形式——直覺上的自明，證明，數學之間的外部辯護——以充分的信任，並且直覺力的確符合初等數學顯見性。」[4]1135

數理邏輯專家王浩寫道：「按哥德爾的說法，『數學實在主義者』就是那麼一種人，他認為數學客體是獨立於人的構造也獨立於個人對它們具有的直覺而存在的，同時他只要求一般數學概念清晰得足以讓人能辨別它們的健全性又能辨認有關它們的公理的真實性。」[7]哥德爾特別喜歡用數論和集合論去闡明其基本立場。對於集合和集合論，哥德爾認為：「在我看來，假設這樣一種實體與假設物理實體一樣合理，並且有同樣多的理由相信它們是存在的。」[1]332如果我們注意到哥德爾的數學思想曾受到了萊布尼茲單子論的影響，就會更好地認識哥德爾數學觀的形而上學特徵。而如果我們知道哥德爾也曾試圖給出上帝存在的一個本體論證明，[7]270就會對其概念實在主義的本質有進一步的體會。

著名數學家魏爾在《數學和自然科學的哲學》一文中對哥德爾的數學邏輯觀念提出了批評，並表達了數學基礎具有動態性的觀點：「哥德爾絕對相信先驗邏輯。他喜歡認為我們的『邏輯透鏡』有點散焦，他希望在略加調整之後我們會看得清楚，那時，每個人都會同意我們看到的是正確的。但是不具備他這種信念的人則會被策梅羅系統，甚至希爾伯特系統中的高度武斷所困惑……對於滿足現有精巧數學實驗的測試的簡單公理系統，我們應該感到滿意，即使以後出現不一致時，改變基礎也為時不晚。」[1]334-335

察哈拉(Chihara)則對哥德爾的把數學實體的存在性與物理對象的存在性放置在平行位置的做法提出質疑。察哈拉爭辯說：「哥德爾並沒有表明兩種情形(即數學對象存在與物理對象的存在，本文作者注)具有同樣的強度，因而，哥德爾並沒有建立起充分的理由讓人相信在其中一種情形成立就意味著在另一種情形也成立。」[4]1135更進一步，察哈拉還認為：「為了解釋數學直覺和論證的經驗，並不需要數學實體的存在性。」[4]1135由於哥德爾是把對數學對象和數學直覺的意義建立在與物理對象和感性經驗相類比的基礎上，因此，哥德爾的數學實在論的落腳點就很自然地放在對於基本公理和假設的直覺信仰之上，而其他的數學結論則可以從這些基本假設和公理推導出來(當然不是所有的)。這種直覺實在論其實就已經表明了數學的實在性並不具有完全可靠的基礎，而是某種直覺信仰。[5]85而這其實也就是哥德爾的數學本體論與傳統的柏拉圖主義的一個主要區別。

三、瑪戴的數學集合論實在論與達米特的語義(反)實在論

20世紀下半葉以來，出現了一些新的有代表性的數學實在論的觀點，主要包括瑪戴(Maddy)倡導的數學集合論實在論、達米特(Dummitt)的語義實在論、比格洛(Bigelow)的「普遍關聯」的實在論、古德曼(Goodman)的實踐的實在論。[6]77-83這裡重點對前兩種加以分析。

瑪戴倡導的數學集合論實在論，是一種折中的柏拉圖主義立場。這種實在論將「集合」看做是數學本體的基本實在，並且通過對「集合」進行物理實在的還原解釋，從而獲得對數學本體論的一種自然化的說明。瑪戴的基本觀點源自於對負數與複數的出現給數學存在所帶來的嚴峻問題，直到高斯在1831年給出了複數的幾何解釋，複數的命運才發生轉機。然而，不幸的是，把幾何作為數學存在的仲裁者角色的看法由於非歐幾何的出現而被改變，人們看到了歐式幾何推理的缺陷。之後，人們又將目光轉向了算術化，並進而導向了集合論。這樣，瑪戴就肯定了集合論作為一種探尋數學存在邏輯路徑的合理性。

瑪戴在對其集合論實在論的論證中特別引述了哥德爾的判斷：「對那些認為數學對象獨立存在於我們的構造以及個體具有的對它們的直覺的人來說……我相信，康托的集合論提供了這樣一個令人滿意的基礎。」[8]因此，瑪戴的數學集合論的實在論與哥德爾的客觀主義有很深的淵源。正如瑪戴自己承認，他所倡導的是一種妥協的柏拉圖主義。「我把數學在應用中的成功看做是給予我們把數學看做是一門科學的最好理由，並且一種雙層的哥德爾認識論提供了我們認識數學科學真理性的最好解釋……我堅持一種直覺的感知模型……我認為直覺是無中生有的。因此，直到哥德爾滑向傳統的數學對象明顯不屬於物理世界的柏拉圖主義觀念之前，我一直都是緊隨哥德爾的。哥德爾這種向傳統思維的不幸的回溯註定了其直覺解釋的軟弱無力。」[4]1139

與哥德爾不同，瑪戴所設想的是伴隨著物理實在的數學實在圖像，「我們對物理對象集合的感知與我們對對象本身的感知很相似。當兒童期的經驗過程和與進化相適應的腦部結構相互作用時，這兩種能力就逐步發展起來了。構成這一發展的神經生理上的變化也會產生極為一般的諸如關於這些事物種類、關於物質對象空間佔有特徵以及集合組合性的信念。這些我稱之為直覺的信念，就構成了最簡單和最基本的我們關於物理和數學科學的假設，這些假設促使我們相信其為真。但是，這些基本假設也必須面對外部理由的審視，在那裡無限的理解和同時性均最終失效了。兩種科學更多的理論收穫得到了大多數或者全部的外部支持。」[4]1140

由於瑪戴把數學的外部理由的角色描述和解釋看做是其妥協的柏拉圖主義的最重要問題，因此數學的實際實踐和發展就需要給予更多的關注。瑪戴贊成基切爾的代表數學合理進步的關於數學演變本質的研究，一般而言，亦即回到數學的歷史和實踐。[4]1141而這樣的倡導就又與赫斯等許多數學哲學家所主張的數學哲學研究範式殊途同歸了。

與上述各種實在論立場不同，達米特關於數學實在論的觀點頗具新意。在哲學上，達米特持有一種頗令人困惑的哲學觀點。例如關於達米特是實在論者還是反實在論者，都一直存有爭議。[9]在國內，有些學者稱之為語義實在論[6]81，也有稱之為語義反實在論[10]。在國外，學者們關於達米特的實在論與非實在論立場的定位也是有爭議的。例如，霍里奇(Horwich)就聲稱，「像普特南和達米特這樣的學者是傾向於把兩種形式的實在論，即語義實在論和形而上學實在論予以合併的。」[11]但較多的學者傾向於認同達米特是持有反實在論立場的。

事實上，實在論與非實在論以及反實在論各自的涵義以及相互之間的界限有時候並不是那麼涇渭分明的。例如，當實在論的意義被前置了「語義」這一定語之後，實在論本身的涵義也就發生了變化甚至轉化，這是因為實在的概念在其原初的意義上是與語言(包括語義)相對立的。因此，語義實在論(semantic realism)這一稱謂本身就蘊涵了一種不同於一般實在論的含義。而語義反實在論(semantic anti-realism)的稱謂其意義就較為明確。而語義實在論和科學實在論的概念是否能夠被置於同一級的邏輯語境之下，也是需要探討的。但無論如何，達米特是把實在論問題看做或者說是轉化成為一個語義學論題加以論述而著稱的。[12]對達米特而言，「哲學的目標就是對思想結構的分析。」[13]這當然是分析哲學的一貫立場了。

達米特的語義(反)實在論可以看做是邏輯主義者，尤其是弗雷格哲學觀點的一種發展，其中還滲透著很濃重的直覺主義邏輯(比如達米特在直覺主義的真值條件邏輯中嗅到了反實在論的味道)、分析哲學和維特根斯坦的色彩。在對數學的看法上，達米特「繼承了弗雷格的語義實在論的傳統，認為離開了語義的分析，數學哲學的研究是寸步難行的。因為，對於數學本質的解釋是語形和語義分析的統一，任何一個形式表徵的客觀意義都是通過分析而語義地給出的」。[6]81而「數學的實在性不是簡單的形而上學的斷言，而是對數學語言進行語義分析的結果。比如，當確定了一個數學理論的量化域的基本概念(如實數)時，就必須同時具有一個其應用的標準和一致性的標準。這兩個標準作為邏輯的和本體論的統一，就是通過語義分析而給出的。因為，實數作為一種特定的數學實體被確定，與其相關的兩個標準一旦被給出，覆蓋實數的量化陳述就可全部被確定地給出真或假；而要實現這一點，就須要求作進一步的闡釋，以某種方式去劃定實數的整體界域，並給出如何看待實數性質的理由。所以，實數作為一種確定的數學實體被認可，以及邏輯地給出它的域解和本體論性地給出它的特性闡釋，都是與語義分析方法密切關聯的。否則，無論是單純的本體論的存在斷言或純粹的邏輯形式分析，都無法給出實數的整體實在性意義」。[6]82

因此，達米特就細化了數學本體的層次，例如達米特就認為：「承認數、集合等等的實在性，與一個具體數學陳述的真假不同；承認數、集合等等的實體性與承認它的『語義值』也不等價。」[6]83達米特建議，為了避免成為機械的對應實在論者和唯名論的形式主義者，就「要從句法的、語義的和語用的整個關聯中，去對數學陳述作認識論的把握。」[6]83這當然是一個有趣的且可以深入探索的話題。

四、評述

雖然有上述種種具有代表性的數學實在論的觀點，但仔細考察，似乎還不能斷定那一種觀點就佔據著本體論視域下關於數學實在性的話語中心。特別是，注意到在當代數學家中，古老的柏拉圖主義或其變式仍有很大的市場。而(新)康德主義在賦予數學知識以人類直覺的色彩時候，又同時把這種知識賦予了一種先天性。因此，就其本源而言，柏拉圖主義與康德主義之間也有某種相似性，這就是兩者都賦予數學知識(無論是這種知識來源於哪裡)某種形而上學和絕對主義的本質。因此，我們有必要在對被賦予先驗性質的作為人類創造物的數學與去除這種先驗性的作為人類創造物的數學之間作出區別。對於康德主義和新康德主義的見解，如果去除其先驗性質，那麼作為人類創造物的數學的見解，是有其合理性的，但需要在論述和細節上給出更為精緻的論述。而對於其各自堅持先驗論的主張，我們是持否定態度的。

概括起來看，作為對柏拉圖主義和新康德主義理論觀點缺陷的直接克服和改造，奎因和普特南的「物理主義」與哥德爾的「新柏拉圖主義」突出強調了數學實在中被前者忽略的特性，這就是數學的經驗、物理學甚至直覺背景，這種具有經驗和直覺背景的數學實在論對於全面認識數學實在是不無裨益的。特別是，那種把數學知識的產生與人類的創造力聯繫起來，而不是像柏拉圖主義那樣認為數學是獨立於人類認識的觀點，更符合數學實在的本質。

然而，儘管數學與物理學和現實經驗有著千絲萬縷的聯繫，但數學畢竟不是物理學，數學也不是現實世界的刻板摹寫，所以，奎因和普特南對經驗、物理學在數學實在論中作用的強調有些偏離數學的知識本性，混淆了數學與經驗科學的界限，數學實在的獨特意義就在其中喪失了。而哥德爾對數學直覺的信賴，本質上是把數學實在的未解之謎轉換為一個新的未解之謎，因此，也不能認為是提供了對於數學實在的較好解決方案。

瑪戴的數學集合論實在論，力圖用作為數學新的基礎的集合論作為認識數學實在的出發點，其基本視域是一種去除了形而上學色彩的柏拉圖主義，同時又凸顯了數學實在的物理本性，因此，瑪戴的數學集合論實在論可以看做是對奎因、普特南以及哥德爾觀點的一種綜合。

就瑪戴的集合論實在論而言，其一，它的理論預設，即把集合論作為一種基本實在的觀點是沒有理由的。因為集合的概念和集合論的思想只是到19世紀末才被發明出來，根本不是某種與人無關的客觀實在。其二，集合論也並不是數學的絕對不變的基礎。認為集合論提供了這樣一種基礎只是一種一廂情願的說法。從基礎主義的危機和布爾巴基關於數學的結構主義論述中，我們已經看到，數學基礎研究的淡化和作為整個數學基礎的勉為其難。因此也不能認為瑪戴的集合論實在論提供了對於數學實在的很好闡釋。

達米特試圖在數學實在論和反實在論之間尋求一種調和。其具體的理論路徑是通過闡釋數學模型相關性的一種網路(語義網路)、實現數學符號表徵客觀性的一種途徑(語義途徑)、提供了判定數學陳述合理性的一種標準(語義標準)並揭示數學本質的實在性意義的一種方法(語義方法)等多重功能，這些新的認識途徑和創新點都是值得肯定的，特別是，達米特把數學實在問題的探討深化到了數學符號學和語義學的層面，並試圖建立一些具有數學固有屬性的標準，對於尋求探索數學實在的新的研究路徑有著較好的啟發價值。

但達米特數學實在論的研究視角的缺陷也是明顯的。作為20世紀著名的「語言學轉向」的一個研究領域，語義學的視角並不能認為是觀照數學實在問題的不二法門。畢竟，如果數學僅僅具有人類語言創造物的理論地位，就不僅不能解釋數學的科學(包括自然科學、社會科學甚至人文科學)和其他人類知識中的價值，而且其自身的實在意義也需要予以重新闡述，而極有可能的是，數學的實在性意義是在數學的語義與語用的雙重性構架以及兩者的交互性中逐步獲得的。因此，我們認為，達米特的語義(反)實在論仍需提供更強的辯護和更多的理論修正才能站得住腳，並結出更為豐碩的理論果實。

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