一個用「三面」硬幣，將輸變為贏的悖論
在博弈論中，有個悖論被稱為帕隆多悖論（Parrondo』s paradox），它說的是將兩個失敗的策略結合，能產生一個獲勝的策略。一般來說，只有當兩個失敗的策略相互依賴，並以某種方式（以改變導致它們失敗的條件）組合在一起時，帕隆多悖論（也稱作帕隆多博弈）才奏效。
自1996年它被物理學家帕隆多（Juan Parrondo）發現以來，這一悖論已經在工程、金融和進化生物學等多個領域獲得應用，例如解釋細胞中的生理過程、增強我們對布朗馬達的理解、以及在多元化的證券投資上的運用。帕隆多博弈證明的是，我們不必總執著於在某一個遊戲中尋找獲勝的策略。
我們可以用一個簡單的例子來說明帕隆多悖論的內容。假設你有100元的初始資金，可以選擇以任意組合玩以下兩種遊戲：
- 遊戲A：你每玩一次都會輸掉1塊錢。
- 遊戲B：如果所剩金額為偶數，那麼將贏得3塊錢；如果所剩金額為奇數，則損失5塊錢。
如果你只玩遊戲A，那麼在100輪之後，你就會失去所有的錢；如果你只玩遊戲B，100輪後你也會失去所有的錢。因此，單獨進行這兩種遊戲都會是種失敗的策略。但是，如果將這兩種遊戲交替進行——從遊戲B開始，那麼每進行兩輪遊戲就能獲得2元錢的收益。這樣，這兩個失敗的策略就組合成了一個制勝戰略。
我們可以在經典世界中找到很多這樣的例子，但卻還沒有在量子世界對它進行研究。直到最近，物理學家物理學家Jishnu Rajendran和Colin Benjamin證明了帕隆多悖論也可以存在於量子領域中。他們用拋擲硬幣遊戲的形式來展示了這一悖論，但不同於經典世界中只有正反兩面的常規硬幣，他們使用了一種三態的被稱為「qutrit」的量子系統，來表示一枚具有正面、反面、邊的硬幣。
Benjamin說：「帕隆多悖論已經可以在經典環境下存在，而我們研究的目的就是讓它得以在量子環境中實現，尤其是在量子隨機漫步中。可惜的是，當我們採用單個硬幣（量子比特，qubit）在量子隨機漫步中實現帕隆多悖論時卻在漸進極限下失敗了。我們在這項研究中展示的是三態的qutrit在量子隨機漫步中實現帕隆多悖論。」
隨機漫步是一種數學統計模型。基本的一維隨機漫步描述的是在規則的一維點陣上從原點位置（0）開始，每一步以1格為單位朝正方向（+1）或負方向（-1）移動，每一次的移動方向都取決於某種概率分布。它可以用來表示拋擲硬幣遊戲的結果，當拋擲的結果為正面時，則朝正方向移動一格；當拋擲的結果為反面時，則朝負方向移動一格。
而量子隨機漫步是基於經典隨機漫步之上的。在一維量子隨機漫步中，玩家同樣從原點開始，根據拋擲硬幣的結果選擇向左（負方向）或向右（正方向）移動。如果拋擲硬幣的結果為正面，則玩家向右移動；如果是反面，則向左移動；如果結果是「邊」，則玩家將其解讀為「等待狀態」，從而停留在相同的位置。
○ 一維量子隨機漫步的「輸」、「贏」和「平局」。| 圖片來源：[1]
由於qutrit是一個量子系統，因此它還能處於這些狀態的疊加態中，在這種情況下，玩家移動到相應的位置處於向左或向右一整步之間。在遊戲結束時，如果在原點右側找到玩家的概率大於在原點左側找到玩家的概率，那麼玩家獲勝。否則將視為玩家失敗。
研究人員通過使用粒子物理學中的一些標準方法，來定義硬幣拋擲的概念以及具有疊加態的遊戲規則，展示了幾個如果在單獨進行會失敗、但在交替的結合形式下能勝利的遊戲例子。除此以外，他們還展示了一些相反的例子。例如，兩個遊戲在單獨進行時會產生勝利或平局的結果，但當組合在一起時則會產生失敗的結果。
○ 在用三態硬幣（quitrit）進行的帕隆多博弈的量子版本中，兩個失敗的策略(a)和(b)被組合成一個獲勝的策略(c)。| 圖片來源：[1]
他們還證明了，雖然一個雙面硬幣（qubit）無法實現帕隆多悖論，但兩個雙面硬幣卻可以。附加的這些狀態在本質上為能克服失敗條件的結合策略提供額外的靈活性。
經典的帕隆多悖論有著非常廣泛的應用，而對於量子版本的帕隆多悖論，研究人員期望它或許能有助於設計出更快、更好的量子演算法（基於疊加或糾纏等量子原理的演算法）。如果一個演算法可以用量子隨機漫步實現，那麼它比只能在經典隨機漫步中實現的演算法更有利用價值。因為量子隨機漫步的傳播速度遠遠高於經典隨機漫步，在量子隨機漫步上實現的演算法所需的時間也比經典的要短得多。此外，帕隆多悖論在量子隨機漫步上的成功實現，為量子棘輪（僅在一個方向上運動的系統）提供了演算法上的解釋。
參考來源：
[1] https://arxiv.org/pdf/1710.04033.pdf
[2] https://phys.org/news/2018-07-parrondo-paradox-three-sided-coin.html
TAG:原理 |