竟然在浴室中發現這些數學秘密

馬桶和噴頭

都那麼有內涵了

一日，超模君上廁所，按下沖水按鈕後。

面對著馬桶中迴旋的水渦，不禁沉思起來。

（水流中似乎蘊藏了什麼秘密）

這時，超模君的職業病犯了，拿起筆，開始畫圖。

將水流大致表示成如下的二維向量圖，向量的方向即為水流方向，長短表示水流力量的大小。

那麼問題來了，水流旋轉產生的力到底是怎樣的呢？

這當然難不倒機智的超模君，思考片刻，便將魔爪伸向了浴缸旁的小黃鴨。

（你想幹什麼？！！）

為了計算出物體在水流中收到了多少旋轉的力，超模君按下沖水按鈕，沉（sang）著（xin）淡（bing）定（kuang）地把小黃鴨扔進了波濤翻滾的馬桶之中。

小黃鴨於是在漩渦中快速旋轉，發現馬桶是通往另一個時空的大門！

抱歉，剛才臆想一下，小黃鴨還是淡定地處於馬桶旋渦中。

其在水流中漂流一周的運動軌跡類似這樣封閉圓環，稱為曲線。

通過觀察馬桶旋渦中的小黃鴨，發現只有與小黃鴨運行軌跡方向不垂直的水流，才會使得小黃鴨作旋轉運動，即運動軌跡垂直方向的作用力是不會導致旋轉的。

換句話說，只有切線方向的力才能導致旋轉。

也就只需要關注水流在曲面切線方向上的分量即可，設曲面一點切線的單位向量為，於是導致小黃鴨作旋轉運動的力為

。

所以，單位時間內，小黃鴨沿軌跡在水流中受到的旋轉的力為：

那麼圖中圓內某一點的旋轉強度是多少呢？

運用極限與微積分思想，不斷縮小封閉曲線區域至一點D，就可以得到某一點D環量的強度，即：

其中K為圍成的區域（實際情況一般為三維空間），S為K的面積。這個環量與面積S比值的極限就是旋度。

又到高中知識複習的時候。

旋度是矢量，方向可以根據物理上的右手定則判斷。

四指指向封閉曲線的方向即軌跡運動方向，大拇指即為旋度方向。由於圖中封閉曲線逆時針旋轉，根據右手定則，可以得知旋度方向垂直於馬桶面向外。

既然旋度是用環量除以閉合曲線的圍成範圍的面積，再令曲線無限小。那麼是否能夠類比出散度的含義？

於是超模君把注意力放在了浴室的噴頭上。

打開噴頭，水流從噴嘴出嘩嘩的流出，黑色箭頭表示某一水流。用一個球狀網將噴頭包住，噴頭可以近似看成一源頭，水流從噴頭處沿著不同方向輻射出並穿過球狀網，那麼球狀網表面的輻射強度是怎麼求呢？

球狀網就是一個球狀曲面。同樣的，只需關注垂直於曲面的分量，即

。所以對其求曲面積分，對於球狀曲面J，得：

這個表達式稱為曲面的通量。那麼又如何計算球狀曲面所圍成的球狀區域內任意一點B的輻射強度呢？

相信大家應該都想到了，對，同樣根據極限與微積分思想，不斷縮小封閉曲面直至與所求點A重合，再除以封閉曲面所圍成區域的體積，就可以得到該點的輻射強度，稱為散度。具體表達式如下：

P為封閉曲面J圍成的區域，V為區域的體積。

這是今晚的知識點，如果看完睡不著。那就在文章下面留言，1樓、5樓、10樓有驚喜！

本文由超級數學建模編輯和整理

部分資料來源於網路

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