變化的足球軌跡和空氣動力學

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作者：王錚

中國科學院國家空間科學中心

空間天氣學國家重點實驗室

足球世界盃是精彩而殘酷的。多少足球運動員從小吃苦奮鬥、遠赴異鄉、日復一日的訓練、在激烈的隊內和比賽競爭夾縫中求得一線生機，希望在這一天站在世界足壇的最高舞台上為國家榮譽而戰。但競技體育就是有輸有贏，狹路相逢勇者勝，再加上一點運氣，會決定這些同樣艱苦奮鬥至今的球員，是榮耀前行還是黯然結束，是歡呼的笑容還是悲情的背影，都在90分鐘的瞬息萬變中產生。這大概正是足球的魅力所在。

在這種情況下，任何一次射門、一次拼搶、一次定位球都彌足珍貴。本屆世界盃誕生了相當多的定位球進球以及精彩的遠射，例如羅納爾多挽救葡萄牙隊的自由球破門，例如托尼克羅斯禁區邊緣精彩的弧線射門，也有很多球被門將或者防守球員神勇化解，或是一些刁鑽的射門皮球距離球門只差毫釐，不由得讓球迷大呼可惜——假如那一球再往左飛幾公分呢？假如那一球再早下墜一點呢？也許比賽結果會大不相同。

94年世界盃義大利球星巴喬的點球高出了橫樑，只留下遺憾的背影

現代足球球員經過不懈的磨鍊，能夠射出足球飛行軌跡各種變化多端的射門，例如我們耳熟能詳的「香蕉球」、「電梯球」等，讓防守球員防不勝防；球迷朋友很多也努力的練習，希望自己也能踢出這樣帥氣的射門。那麼，足球為什麼會有這樣變化的飛行軌跡呢？

香蕉球」（banana ball）說的是足球中的弧旋球，或者叫弧線球。球員運用腳法踢出球後，球的飛行曲線是弧線，也就是會「拐彎」。弧線球可以繞開面前的防守球員，打到直線不能抵達的球門位置。

托尼克羅斯的絕殺射門同樣帶有一定的弧線

弧線球的「拐彎」利用到了流體的伯努利原理，也即是流體流速快的地方壓強小、流速慢的地方壓強大，如示意圖所示。皮球向前（圖中向下，所以空氣流體相當於向上流）飛，兩邊的空氣從兩側被分開，流速較快。當皮球如圖旋轉時，由於空氣粘性，緊靠球表面的空氣隨球一起旋轉，因為與流線方向不同產生了左右不對稱，圖中左邊的流速相對較快，右邊較慢，就因為右邊壓力大、左邊壓力小形成一個向左的力，這種旋轉物體的橫向受力稱為「馬格努斯效應」（Magnus Effect）。貝克漢姆的弧線球非常有名，足球球迷將其稱之為「圓月彎刀」。利用這種踢法，可以在繞過人牆的情況下命中球門的上角，讓守門員「鞭長莫及」；在傳中的時候，也可以繞過前邊球員封堵，讓球恰好飛到門前隊友的包抄位置。

「馬格努斯效應」在現代飛行器中也非常重要。我們的火箭、導彈，很多時候為了提高飛行穩定性也帶有旋轉，但是這時候也會有「馬格努斯效應」，需要進行考慮。

流體中旋轉前進（向下）的足球因為流體壓力而受到橫向的力

「電梯球」則是用來形容急速下墜的球的，球好像通過電梯直達「一樓」，而不是「走樓梯」一層樓一層樓下來。球剛開始很快地呈斜線往上飛，又以更大陡度急墜，角度刁鑽，很可能從守門員手上方「鑽」進球門，特別是在守門員站得比球門稍微靠前的時候。皮爾洛和羅納爾多都是這種球的好手。這次世界盃我們也看到很多遠射下墜弧線很陡。

之所以說球是「急速下墜」，是因為我們日常見到的拋物線，上升階段和下落階段的軌跡是對稱的（下圖a），守門員也是以此預判球向下下墜的速度和位置的。這種拋物線稱為伽利略拋物線軌跡，其水平的初速度小於自由落體的末速度。但是，如果水平的初速度非常大呢？如果初速度大於末速度，那麼該拋射物將沿著一條不對稱的軌跡減速，即上升階段斜率較小，而在軌跡末端接近成為一個垂直的落體（下圖b）。

這種不對稱的拋物線並不難理解。球在空中是受到向下的重力和向後的空氣阻力的，合起來大概是向斜下方的力方向，拋物線相對於這樣的方向大概是接近對稱的。速度大的球受空氣阻力非常大，最後在阻力下近似垂直下落，但即使下落到水平面速度依然沒有達到初速度那麼大，從對稱的角度來看，相當於這個對稱軸向右特別的「歪」。通過阻力分析是可以推算出這樣的飛行軌跡的。所以想踢出電梯球，需要球員把球踢得飛的非常快——一些著名球星的射門速度可以達到時速100公里以上，例如2002年世界盃，巴西對陣中國，巴西球星卡洛斯在距離球門26米處一記自由球射門，測得速度達到了149公里/小時。

（a）初速度較小的拋物線（b）初速度大於末速度的拋物線，急速下墜

另外我們還常聽說一種球，也就是不旋轉的球，它的軌跡往往變化的沒什麼規則，讓防守球員難以預測，不知怎的突然就下落或者偏轉了。這種球也叫「落葉球」。有一種解釋是流體繞過非流線形物體時，尾流兩側會交替產生成對排列的、旋轉方向相反的渦旋，對物體產生交變的橫向作用力。

不過，其實很多球是多種受力綜合的結果，有些效應雖然出現了，但不一定起主導作用。例如，每屆的世界盃用球都會有改變，從光滑的球面到經典的多邊形縫合，有些還有奇特的花紋。這些紋理在足球旋轉飛行時會帶來渦流等效應，使得足球飛行的軌跡更加撲朔迷離。

漫畫：巴西球星卡洛斯曾經踢出過驚人曲線的自由球

人不是機器，足球場也不是萬年不變的實驗室，天時、地利、人和都讓足球比賽越發難以預料，可遇而不可求。皮球飛行的原理有助於我們學習和改善踢球的技巧，但即使了解了所有原理，還是離不開日復一日的努力加上一點運氣。

作者：王錚中國科學院國家空間科學中心 空間天氣學國家重點實驗室

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