隱藏在這幅畫中的17個物理世界

最新 07-19

原標題：隱藏在這幅畫中的17個物理世界

原創： Sean Lang

編譯：Boltz

授權轉自：原理

在不同尺度上，物理世界遵循著不同的規律。描述微觀量子世界的定律，與描述宏觀物體的定律有著本質的區別。然而，任何隨著尺度的變化必然是連續的，物理學中看似截然分立的領域，實則具有豐富的聯繫。

《尺度，法則和生命》這幅畫，正是通過17個地位顯著的公式，描繪了物理學不同領域的聯繫與相互影響。

○ 《尺度、法則和生命》。| 圖片來源：Sean Lang

沿著圖中從左到右的方向，粒子數量增加，系統複雜性也隨之增加。沿著從下往上的方向，系統的尺度逐漸增大。圖的各個角分表代表了物理學的不同領域。沿著順時針方向，左下角描繪粒子波動性的圖像代表量子力學；左上角電磁相互感生的圖像代表電磁學與電動力學；旁邊的湍流代表流體力學；右上角的星雲、黑洞、恆星以及交織的時空，代表描述宇宙的相對論；右下角紛亂的粒子、石墨烯、足球烯、DNA雙螺旋代表熱力學與統計物理。

圖的正中是人類和孕育人類生命的地球。地球上的四個人則表現了人類面對這四個不同尺度與複雜性的領域時，截然不同的態度：左上角的人拿著筆，陶醉於電動力學的完美，右上角的人滿含熱情與虔誠地擁抱宇宙的奧秘，右下角的人面對複雜的世界充滿困惑，左下角的人震驚於微觀量子世界的怪異。

畫面四個象限間隔用黑白色調，具有旋轉對稱性，彷彿陰陽一樣形成一種動態的平衡。

本文將從左上角開始，順時針依次介紹這些描述了不同尺度自然世界的重要公式。

1. 麥克斯韋方程組

○ 麥克斯韋方程組，位於畫作中的左上角。

電磁現象研究中最重要的一點是要理解，是電荷的存在產生了滲透整個空間的電磁場。

在上圖顯示的四個方程中，有兩個方程中有倒三角、點，以及表示電場和磁場的字母E和B。這兩個公式描述了電場和磁場的散度，或者說是點源在徑向上產生磁場和電場的能力。根據這兩個公式，電場的散度取決於存在的電荷數量，而磁場的散度總是零！這意味著電場是有源的，而磁場是無源的，正如我們知道的，自然中存在點電荷，但是不存在磁單極子。

另外兩個等式包含叉號而非圓點，描述電場和磁場的旋度。旋度可以理解為電場與磁場在自由空間彎曲程度的度量。在描述電場旋度的等式右側包含磁場，在描述磁場旋度的等式右側包含電場。這表明，隨時間變化的電場會激發環繞的磁場，而隨時間變化的磁場會激發環繞的電場。

在描述磁場旋度的等式中，還有一個額外的包含字母J的項，代表位移電流，這表示運動的電荷會產生環繞的磁場。值得注意的是，在描述電場旋度的等式中，並不包含對應的「磁流」項，這是因為「磁流」根本就不存在！如果存在磁單極子，就會有「磁流」，而磁單極子迄今仍未被發現。

這四個描述電磁場散度和旋度的等式構成了麥克斯韋方程組，它們為電磁場在電荷存在時或者真空中的行為提供了完整的描述。

2. 納維爾-斯托克斯方程

○ 納維爾-斯托克斯方程，位於畫作上方中間位置。左側包含與流體速度、加速度有關的項，而右側是與外力、外部壓強有關的項，形式上與牛頓第二定律非常一致。

上面這個看起來十分冗長的等式便是描述流體運動的納維爾-斯托克斯方程。流體，簡單說來，就是運動的連續粒子流。正如牛頓第二定律 (F=ma) 描述了粒子在力的作用下如何運動一樣，納維爾-斯托克斯方程描述了粘性、不可壓縮流體的運動。它並不是在表述能量守恆，而是描述流體在給定的粘度、集體速度和外部壓強下是如何運動的。

由於非線性偏微分方程的數學形式，納維爾-斯托克斯方程令無數相關領域的研究人員頭疼不已。納維爾-斯托克斯方程的存在性與平滑性是千禧年七大數學難題之一，普遍認為，距離方程的解決還很遙遠。（詳見：《物理學中最難的方程之一》）

3. 連續性方程

○ 連續性方程位於納維爾-斯托克斯方程下方，在頂部的兩個人體中間。

流體力學中，決定流體行為的一個重要特徵，是在流體中是否存在源（source）或者匯（sink）。想像流體中的一個封閉空間，我們可以問如下的問題：在一段時間內，有多少流體進入這個空間，有多少流出？

如果是一根沒有洞的水管，可以確定流入和流出的流體量是相等的，因為流體是連續的！在這種情況下，連續性方程中代表流體源或匯的希臘字母σ等於零。從左往右，方程中另外兩項分別代表單位時間內流入或流出封閉空間的流體量，以及流體的散度。連續性方程實質上是流體總量守恆的一種表述，描述了流體不會憑空產生或者消失，類似於電荷守恆、質量守恆、動量守恆等。

4. 洛倫茲變換

○ 洛倫茲變換的公式位於納維爾-斯托克斯方程上方，在中間的格點圖形那裡。

在愛因斯坦提出狹義相對論之前，理解物體相對運動是通過伽利略變換。在伽利略變換的圖景中，對運動物體時間和空間的描述不包括時間膨脹和長度收縮效應。

愛因斯坦假定在所有慣性系中光速是恆定的，並且構架了一種和伽利略變換不同性質的變換，後來被稱為洛倫茲變換。這種變換解釋了如下事實：在靜止參考系中，運動物體在時空中的前進速度是不同的，這與運動參考系和靜止參考系的相對速度有關。

如圖中的洛倫茲變換公式中表示的那樣，大寫的X和X』代表觀察者和被觀察的時空坐標。大寫的希臘字母Λ是4×4的變換矩陣，它包含了物體與觀察者相對速度的信息。

5. 愛因斯坦廣義場方程

○ 愛因斯坦廣義場方程位於畫作右上角，黑洞下方。

在廣義相對論中，愛因斯坦場方程描述了在物質和能量的影響下，時空結構是如何彎曲纏繞的。可以從方程中求解出的小寫字母g代表時空度量（space-time metric），時空度量g可以認為是特定系統中時空結構的特徵描述。愛因斯坦說「一隻盲目的甲蟲，在球面上爬行，它意識不到它走過的路是彎曲的。」時空度量g就是這個球面彎曲形狀的表徵。如果是一隻非常非常聰明的甲蟲，它知道這個面的g和相關知識，也就知道了自己在什麼形狀的面上爬行。

通過時空度量，我們可以確定物體在系統中的行為，因為，最簡單說來，時空曲率會引導物體的運動。這種「引導」由物體周圍時空結構的曲率決定，正是我們感受到的重力。

6. 黑洞的貝肯斯坦-霍金熵

○ 貝肯斯坦-霍金熵的公式位於圖的右上角，黑洞上方的位置。（進一步閱讀：《霍金走了，卻留下了一個謎題》）

當霍金還年輕的時候，他設想了一種機制，通過這種機制，黑洞噴射自身的質量，並最終蒸發消失。這種想法基於透過量子力學「透鏡」觀察到的真空特性。

根據我們對量子力學的理解，真空中充滿了正負粒子對，它們不斷地成對產生或湮滅。霍金的理論表明，如果這種現象出現在史瓦西半徑附近（光和粒子均無法逃離時的黑洞半徑稱為史瓦西半徑），正負粒子對中的一個會掉入黑洞，另一個則會逃離。根據這一機制，黑洞就像是在噴射自身的質量，這種現象被稱為霍金輻射。

貝肯斯坦-霍金熵描述了在黑洞表面所必須的熵，以符合控制黑洞視界物質外部的熱力學原理。

7. 愛因斯坦質能方程

○ 愛因斯坦質能方程位於右上角的行星里，就在愛因斯坦場方程下方。

愛因斯坦質能方程可能是物理學中最廣為人知的方程。儘管名字廣為流傳，它的物理內涵卻有些令人難以捉摸，只有通過相對論才能理解。這個等式之所以如此重要，是因為它直觀的表述了對於靜止物體，能量就是質量，質量就是能量。與物體本身相對靜止的參考系內的質量，稱為物體的靜止質量。

一個更普適的質能關係是：

其中m?是靜止質量，p是動量。對於質量為零的物體，比如光子，m?等於零，公式簡化為E=pc。當物體的運動速度遠小於光速時，動量p很小，公式回歸到圖中的形式, E=mc2，這正是宏觀世界物體近似遵循的規律。

8. 重整化群方程

○ 這個方程被放在了圖的中間，分裂在地球的兩側。

重整化群方程可以用來確定物理系統在不同尺度上的行為。類似於顯微鏡是觀察細菌的合適工具，卻不適合觀察宏觀物體，這個方程是用來確定，在特定的物理尺度或能量尺度上，應用什麼數學工具更為合適。

這個方程可以用於研究，當系統的尺度發生變化時，一個理論的相關參數應如何變化。另外，這個方程可以表明，哪些理論在所有能量尺度上是有效的——例如共形場論（conformal field theory）——這些理論在物理學的眾多領域具有重要作用，包括凝聚態物理、弦論、規範-引力對偶（全息原理）。

9. 牛頓第二定律

○ 牛頓第二定律在圖中太空梭的右邊。

在宏觀尺度下，當物體運動的速度遠小於光速，作用於物體上的力等於物體的質量乘以加速度。牛頓第二定律是人們理解力這一概念的基礎，被應用在難以計數的研究領域中。

在牛頓第二定律F=ma下方，是作用於物體上的力的更為普適的表達。這個公式表達的是，作用於物體上的力等於單位時間內物體動量的變化。這種表達之所以更為普適，是因為它不僅包含了特定質量物體速度變化的可能，還包含了物體質量變化的可能。因為動量由質量和速度共同決定，這兩者中任何一種的變化，都意味著有力作用於物體上。

在畫作中，畫家讓F=ma和F=dp/dt這兩種表達互相排斥，來描述牛頓第三定律的內涵。在沒有外界影響的情況下，對於任何一個力，都存在一個大小相等、方向相反的力。

10. 熱力學第二定律

○ 熱力學第二定律位於DNA雙螺旋下面。

熱力學第二定律陳述的是，孤立系統的熵只會增加。簡單的說，熵是衡量系統可以採取的排列方式的量。想像密封盒子里的一團粒子，與外界不存在能量交換。與所有粒子都聚集在盒子的一個角落相比，粒子分散在整個盒子中時，可能的排列數量遠遠大得多。這也和我們的直觀經驗相吻合，比如一團氣體會自動擴散開來。雖然這不是在孤立系統中，推動這一過程的仍是熵的增加。這就是熱力學第二定律最核心的思想。孤立系統有一種傾向，就是演化成具有最多可能排列數量的狀態。

○ （c）的可能排列最多，熵最大。 | 圖片來源：https://chem.libretexts.org/

11. 配分函數

○ 配分函數在圖的右下角。

當確定系統處於某個特定狀態，尤其是平衡態的概率時，配分函數是我們最好用的工具。配分函數取決於系統的自由度，以及表徵系統的狀態是連續或者分立。從統計力學的角度，最重要的描述系統的物理量，如自由能、熵、壓強等，都能通過配分函數及其導數來表達。配分函數被認為包含系統的所有信息，所以一旦知道配分函數，系統的任何性質原則上都能夠計算出來。但是複雜系統的配分函數並不容易獲得。

12. 量子簡諧振子

○ 量子簡諧振子的表達式在地球下方，圖的中間。

最簡單的簡諧振子是單擺，擺臂在重力作用下持續均勻擺動。量子簡諧振子和宏觀擺的本質區別在於，對於量子簡諧振子，振動的物體是像電子這樣的粒子，且粒子的振動限定在一系列離散的狀態上。不同於宏觀的擺可以具有任何頻率，量子簡諧振子中的粒子只能具有特定的離散的頻率。這個概念描述了量子力學與量子尺度的物質粒子的根本特性。畫家用拋物線來代表簡諧振子，因為對於簡諧振子的定義就是勢阱禁錮著振動的粒子。

如圖中所表達的，量子簡諧振子中佔據特定能量狀態的電子躍遷到較低能量態時，一個光子會發射出來，其能量恰好等於兩個狀態的能量差。光子的波長與其能量相對應，較高能量的光子具有較短的波長。這個過程也可以反向進行。一個光子可以與電子相互作用，將電子激發到較高能量態，電子能量的增加則等於光子攜帶的能量。

13. 最小作用量原理

○ 最小作用量原理在圖的中下方。

最小作用量原理代表了我們對於物理學幾乎所有領域的最深刻理解。最小作用量原理本質上表達的是，我們可以通過提出一個問題來確定物理系統的行為，這個問題就是，自然是否在追求某個量的最小化？或者更普遍的，自然是否在尋求某種不變性？

關於最小作用量原理的一個絕佳例子是光的折射現象。當光線從一種介質進入另一種介質（比如從水進入空氣）中時，會選取怎樣的路徑呢？事實是，光線會選取傳播時間最少的路徑！因為光在不同介質中傳播速度不同，為了使傳播時間最短，光線會在界面上發生彎折，以確保在光速快的介質中通過更多路程。理解了最小作用量原理，也就理解了光的折射現象。

這絕非最小化原理在物理學中的唯一例證。事實上，最小化原理廣泛地應用於經典力學、電磁學、廣義相對論、量子力學和很多其他領域。在所有尺度上，自然似乎都在告訴我們，確定一個複雜系統行為的最簡單方法是類似這樣的最小化原理。

14. 薛定諤方程

○ 薛定諤方程位於圖中左下角的波形中。（關於薛定諤方程的更多討論：《量子力學的核心——薛定諤方程》）

薛定諤方程是量子力學的精華，以簡潔的數學形式表達了量子力學的內涵，描述在自由空間或者存在勢能的情況下粒子類似於波的行為。畫家以最簡潔的形式表達薛定諤方程：哈密頓運算元H作用于波函數Ψ，等於系統的總能量E乘以波函數Ψ。波函數包含關於量子系統能量狀態的概率信息，當不同的算符作用于波函數時，可以得到系統的能量、角動量等物理量。

15. 海森堡不確定性原理

○ 海森堡不確定性原理位於圖的左下角。（關於不確定性原理的更多討論：《進入不確定性的世界》）。

海森堡不確定性原理陳述的是：由於在量子尺度上粒子具有波的特性，粒子的動量和位置不能同時精確測定。

首先，在你的腦海中想像一列波在空間傳播，比如石子投入水中引起的漣漪，或者振動的琴弦。問自己如下的問題：波的準確位置在哪裡？你想像的波具有固定的波長，不是嗎？具有固定波長的波具有精確的動量，然而卻不具有精確的位置，無法準確說出這列波究竟在這裡，還是在那裡。

現在，想像一個波包，也就是許多各種波長的波疊加在一起形成的具有確定位置的波。這時，波包有著更為精確的位置。但是，因為添加了許多不同波長的波，波包動量的不確定性增加了。這就是不確定性原理的本質。

畫家在這幅圖中用標準差σ來表示位置和動量的不確定性，位置和動量標準差的乘積大於或等於一個常數（普朗克常數的一半）。因此，當一個量變得精確時（σ變小），另一個量的精確性會相應降低（σ變大）。

16. 狄拉克方程

○ 狄拉克方程在畫作的左側，爆炸的下方。

1928年，保羅?狄拉克提出了描述電子的相對論性方程式——狄拉克方程。它把物理學上兩個最重要的想法聯姻在了一起：描述微觀世界的量子力學以及描述快速運動物體行為的狹義相對論。因此，狄拉克方程描述了粒子（比如電子）以接近光速運動時的行為。狄拉克方程是通往量子場論的第一步，以至於有了今天的粒子物理學的標準模型。此外，狄拉克方程還包含了解釋粒子自旋特性的必要細節，並且預言了反物質的存在！

17. 光電效應