聽說，這些題能讓你找回多年前參加數學競賽的感覺

知識 07-21

真是一段

美好的回憶

1. 給定 ABC ，對於平面上的任意一點 X ，它屬於點集 S 當且僅當線段 BC 上存在一點 D 使得 ADX 是等邊三角形。點集 S 是什麼樣子的？

答案：

兩條線段，它由線段 BC 繞 A 點順時針或逆時針旋轉 60 度而得。

這是因為，給定 A 點和 X 點，則 D 點的位置可以由 X 點繞 A 旋轉 60 度得到的。

既然 D 點在 BC 上，那麼顯然 X 點就應該在 BC 繞 A 旋轉 60 度得到的線段上。

2. 能否把一個正方形分割成 7 個等腰直角三角形，其中任意兩個三角形都不全等？

答案：能。如圖。

3. 能否把一個等邊三角形分成五個等腰三角形，使得

(1) 五個三角形都不是等邊三角形？

(2) 恰有一個三角形是等邊三角形？

(3) 恰有兩個三角形是等邊三角形？

答案：都可以。如圖。

4. ABC 中， AB=AC ， ∠A=20° 。 P 在 AB 上，滿足 AP=BC 。求 ∠ACP 。

答案：

把 ABC 翻折兩次，得到 ACD 、 ADE 。

在 AE 邊上截取 AQ 使得 AQ=AP 。

顯然 APQ 為等邊三角形，因此 AP = PQ = CD 。

另外，由 SAS 可得 APC 與 AQD 全等，因此 PC=QD ，四邊形 PQDC 是平行四邊形。

由全等還可得 ∠APC=∠AQD ，由此可知 ∠1=∠2 。

也就是說，四邊形 PQDC 事實上是一個矩形。因此， ∠ACP = ∠ADQ = 90° – ∠ADC = 10°。

5. ABC 中， M 為 AB 邊的中點。以 AC 為邊向外作正六邊形， P 為其中心；以 BC 為邊向外作正三角形， Q 為其中心。證明： ∠PMQ 為直角。

答案：

把整個圖形繞 M 點旋轉 180 度，則四邊形 PQP』Q』是平行四邊形。

下面我們證明兩個陰影三角形全等。

顯然 CP=BP』，且 CQ=BQ 。

另外，記 ABC 的三個角分別為 α 、 β 、 γ ，則

∠PCQ

= 360° – 60° – 30° – γ

= 270° – (180° – α – β)

= 90° + α + β

= 60° + α + β + 30°

= ∠P』BQ ，於是 PCQ≌P』BQ 。

因此， PQ=QP』，四邊形 PQP』Q』是菱形，它的兩條對角線互相垂直。

6. ABC 中， AD 是角平分線， M 是 BC 的中點。過 M 作 AD 的平行線，與 AB 交於點 N 。求證 MN 平分 ABC 的周長。

答案：

過 C 作 MN 的平行線，與 BA 的延長線交於 E 。

易證 AC=AE ，所以 ABC 的周長就等於 BC+BE 。

只需注意到 MN 是 BCE 的中位線，問題即得證。

7. 五個圓依次相切，它們又都相切於兩條不平行的直線。如果最左邊那個圓的半徑為 4 ，最右邊那個圓的半徑為 9 ，求中間那個圓的半徑。

答案： 6 。

下面我們說明，五個圓的半徑成等比數列。把五個圓從小到大依次記作 C1、 C2、 C3、 C4、 C5，把兩條直線的交點記為 P 。

把 C1、 C2的圓心到 P 的距離分別記作 P1、 P2。

現在，把整個圖以 P 為中心縮小到原來的 P1/P2，則兩條直線還在原來的位置，但是 C2現在佔據了 C1的位置。

另外，由於所有相切關係都不變，因此新的 C3就是原來的 C2，新的 C4就是原來的C3，新的 C5就是原來的 C4。

這就說明，每個 Ci縮小到原來的 P1/P2就和 Ci-1重合，也就是說每兩個相鄰圓的半徑之比為 P1/P2。

8. 給定一條直線和直線外一點 P ，再給出直線上一點 O ，以及一個以 O 為圓心的圓。如何只用一個沒有刻度的直尺作出已知直線過 P 點的垂線？

答案：

連接 AP ，與圓交於 Q ；延長 PB ，與圓交於 R 。

則 AR 、 QB 的延長線的交點 X 就滿足 PX⊥l 。

這是因為在 APX 中， QX 和 PR 都是三角形的高，說明點 B 是三角形的垂心，自然就有 PX⊥l 了。

9. 證明：把一個正 400 邊形剖分為平行四邊形，則其中至少有 100 個矩形。

答案：

假設這個正 400 邊形的底邊是一條水平線段。

顯然，我們可以從最上面的邊出發，穿過一個個平行四邊形，一路走到最下面的邊，使得路上經過的線段都是水平線段；

類似地，正 400 邊形的最左端到最右端也有這麼一條通路，路上經過的每條邊都是豎直線段。但這兩條路徑顯然有一個交點，這個交點所在的四邊形顯然就是矩形。

這個操作可以在該正 400 邊形的不同方向上進行 100 次，因此我們能找出 100 個朝向不同的矩形。

10. 圖中所示的是一種用不相交線段覆蓋四邊形中每一個點（包括邊界上的點）的方法，其中每條線段的長度都不為 0 。是否有可能

(1) 用長度都不為 0 的不相交線段覆蓋一個三角形中的每一個點？

(2) 用長度都不為 0 的不相交線段覆蓋一個圓里的每一個點？

答案：都是可以的。如圖。

11. 給定任意四邊形 ABCD 和四邊形外一點 O 。把 AB 平移到 OA』，把 BC 平移到 OB』，把 CD 平移到 OC』，把 DA 平移到 OD』。求兩個四邊形的面積之比。

答案：

倍長 BC 到 E ，於是三角形 (1) 和 (2) 面積相同。

而顯然三角形 (2) 和 (3) 全等，因此 (1) 和 (3) 面積相同。

同理可知，右邊這個四邊形中的四個三角形事實上分別與 ABC 、 BCD 、 CDA 、 DAB 等積，因此右邊這個四邊形的面積是左邊的兩倍。

12. 圖中的四個點之間一共有 6 條線段，它們滿足：有一種長度恰好出現 1 次，有一種長度恰好出現 2 次，有一種長度恰好出現 3 次。是否存在平面上的五個點，它們之間的 10 條線段滿足有一種長度恰好出現 1 次，有一種長度恰好出現 2 次，有一種長度恰好出現 3 次，有一種長度恰好出現 4 次？

答案：是的。

下圖是一個簡單的構造：

ABC 為等邊三角形， O 為其中心。以 A 為圓心， AB 為半徑作弧， OB 的中垂線與這段弧相交於點 D 。則這五個點滿足要求。

受很多與維度有關的幾何命題的影響，或許很多人認為五個點已經是最多了吧。

其實不是。

現在已經發現了一些 n=6 、 n=7 甚至 n=8 的構造。

下圖顯示的就是一個 n=8 的構造，構造出這玩意兒的人簡直是太牛 B 了。

13. 如圖，四邊形房間內有一光源，它照亮了大部分區域，只有其中兩面牆有陰影部分。是否存在這樣的多邊形房間，把光源放在房間里的某個位置後，能夠讓每一面牆都有陰影部分？

答案：有。如圖。