星座幾何-雙子手拉手

寫在前面

手拉手模型是幾何圖形中的經典模型之一，學生的困難在於如何精準識別並靈活應用模型，本文主要介紹手拉手模型的特點以及常考結論。

出場鏡頭

2017年師院附10月月考23題；2016年37中月考23題；2016二模23題

模型解讀

模型的定義

定義: 兩個頂角相等且有共頂點的等腰或等邊三角形形成的圖形（如上圖，△ABD和△CBE）

左右手的判別

△ABD和△CBE一大一小，大為兄，小為弟，弟弟看哥哥，BA相當於哥哥的左手，BD相當於弟弟的右手；哥哥看弟弟，BE相當於弟弟的左手，BC相當於弟弟的右手；

核心結論

結論一

DC=AE

（哥哥左手拉弟弟左手=哥哥右手拉弟弟右手）

結論二

∠DHA=∠DBA

解題步驟

1、識模型。識別頂點及左右手，確定左手拉左手，右手拉右手構成的三角形；

2、證全等。SAS證明全等；

3、套結論。利用全等性質對應邊和對應角相等得「結論一」和「結論二」。

小試牛刀

例1：如圖以△ABC為邊,在BC的同側分別作3個等邊三角形,即△ABD、△BCE、△ACF. 請回答問題並說明理由.

（1）四邊形ADEF是什麼四邊形.

（2）當△ABC滿足什麼條件時,四邊形ADEF是矩形.

【解析】（1）四邊形ADEF是平行四邊形。

理由：∵△ABD，△EBC都是等邊三角形。

∴AD=BD=AB，BC=BE=EC

∠DBA=∠EBC=60°

∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.

∴∠DBE=∠ABC.

在△DBE和△ABC中

∵BD=BA

∠DBE=∠ABC

BE=BC，

∴△DBE≌△ABC.（SAS）（手拉手模型）

∴DE=AC.

又∵△ACF是等邊三角形，

∴AC=AF.

∴DE=AF.

同理可證：AD=EF，

∴四邊形ADEF平行四邊形。

（2）∵四邊形ADEF是矩形，

∴∠FAD=90°.

∴∠BAC=360°?∠DAF?∠DAB?∠FAC=360°?90°?60°?60°=150°.

∴∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形。

真題再現

（2016年37中月考23題）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD的一邊且在AD的右側作正方形ADEF。

解答下列問題：（10分）

如果AB=AC，∠BAC=90°，

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關係為__________，數量關係為____________。

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否任然成立，為什麼。

如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動。當△ABC

滿足__________條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）

【解答】(1)①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中,AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，

∴△DAB≌△FAC（手拉手模型）

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

故答案為：垂直、相等；

②成立，理由如下：

∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD與△CAF中，

∵AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF.

∴△BAD≌△CAF（手拉手模型）

∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°

∴CF⊥BD；

(2)當∠ACB=45°時,CF⊥BD(如圖).

理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線於點G，

則∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°,∠AGC=90°?∠ACB，

∴∠AGC=90°?45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG，

在△GAD與△CAF中，AC=AG∠DAG=∠FACAD=AF，

∴△GAD≌△CAF（手拉手模型）

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°

即CF⊥BC.

你行，你上

（2016二模23題）數學活動：圖形的變化

問題情境：如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC邊上的一個動點（點E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD，猜想線段BE，AD之間的關係。

（1）獨立思考：請直接寫出線段BE，AD之間的關係；

（2）合作交流：「希望」小組受上述問題的啟發，將圖（1）中的等腰直角△ECD繞著點C順時針方向旋轉至如圖（2）的位置，BE交AC於點H，交AD於點O，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由；

（3）拓展延伸：「科技」小組將（2）中的等腰直角△ABC改為Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6；將等腰直角△ECD改為Rt△ECD，∠ECD=90°，CD=4，CE=3，試猜想是否為定值，結合圖（3）說明理由.

彩蛋

雙子座神話故事

麗達王妃生了許多可愛的孩子，其中有兩個兄弟，不光是感情特別要好，長相也幾乎一模一樣，很容易讓人以為他們倆是一對雙生子。

其實，在這兩兄弟中，哥哥是麗達王妃與天神宙斯所生的兒子，弟弟則是與巴斯達國王所生的，倆人為同母異父的兄弟，而且哥哥的身份是"神"，且有永恆的生命，弟弟則是一般的普通人。

有一天，希臘遭到了一頭巨大的野豬攻擊，王子們召集許多的勇士去追殺野豬，當野豬順利地被解決後，勇士之間卻因為互爭功勞，而在彼此之間結下了仇恨。

在一次市集的熱鬧場合中，兩邊互看對方不順眼的勇士不期而遇，當然又免不了一番爭吵。在爭吵中，有人開始動起武來，於是場面變得一發不可收拾，許多人都在這場打殺中受傷，甚至死亡。很不幸地，兩位王子當中的弟弟，也是在這一場混亂之中，被殺身亡。

一向與這個弟弟特別要好的哥哥，完全無法接受弟弟已經死亡的消息，抱著弟弟的屍首不停的痛哭，希望弟弟可以起死回生，讓兩人可以一起重享以前手足情深的歡樂日子。

於是，哥哥回到天上向父親宙斯請求，希望宙斯可以讓弟弟復活。但是宙斯向他表示，弟弟只是個普通的人，本就會死，若是真的要讓弟弟復活，就必須把哥哥剩餘的生命分給弟弟。

感情深厚的哥哥，當然是毫不猶豫的馬上答應了，從此之後，兄弟倆又可以一起快樂的生活了。

雙子座連線圖

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