四維空間和三維空間的區別

一、什麼是四維空間

超過三維的空間，即高維空間，作為幾何對象是很難理解的，作為代數對象卻很容易理解。

根據我們日常對一維（線）、二維（面）、三維（體）空間的印象，一個空間有幾維，就是在這個空間中能夠做幾條互相垂直的直線，或者說有幾個互相垂直的方向。你面前一條左右伸展的直線上，只有左右方向。你面前一張鋪開的白紙上，有左右方向加上下方向。你面前的整個空間中，有左右方向、上下方向和前後方向。

以此類推，四維空間就是在左右、上下和前後之外，還有一個與它們垂直的方向的空間。這個定義一目了然，人腦卻難以想像出來（不排除有些數學家經過特殊訓練有可能想像出來），因為我們日常見到的空間是三維空間，不存在這第四個方向。四維都想像不出來，更高維度就更不用說了。所以說，高維空間作為幾何對象是很難理解的。

從代數的觀點看，n維的空間就是所有的滿足以下性質的矢量的集合：（1）有n個互相垂直的基礎矢量屬於此集合，垂直的定義是純粹代數的，即兩個矢量的「內積」等於0；（2）此集合中任何一個矢量都等於這n個基礎矢量乘以某些常數後相加（即這些基礎矢量的線性疊加），例如2乘以第一個基礎矢量，加上3乘以第二個基礎矢量，加上0.5乘以第三個基礎矢量，加上0乘以後面的基礎矢量。你如果能看懂，太好了。如果看不懂，沒辦法，只能說這是大學裡線性代數的內容，等你學到線性代數就明白了。這個定義的妙處是完全不需要空間想像，無論多少維在數學表述上都是一樣的。所以說，高維空間作為代數對象很容易理解。

二、四維空間就是無數個三維空間

我先從0維空間說起，大家一起來想像一下（人的大腦是可以超維度的，所以可以想像出高維空間）

0維—— 一個點，沒有上、沒有下、沒有左、沒有右也沒有前也沒有後，就是一個點。 1維—— 無數個點（0維空間）組成的一條線，有了前和後的概念；但是，任然沒有左右和上下。

2維—— 無數條相同的線（1維空間）組成的一個面；有前後也有左右的概念，但是，上和下任然不存在。

3維—— 我們生存的空間；由無數個面（2維空間）一層一層的疊起來組成的「立方體」空間，有上下、有前後也有左右的概念。

4維—— 超越我們生存的空間；由無數個立方體（3維空間）組成的「超立方」空間。在這個空間里，上下、左右、前後是無限的。

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