巔峰對話：哥德爾論圖靈（連載一）

原標題：巔峰對話：哥德爾論圖靈（連載一）

心靈與機器：論可計算主義（一）

王浩

選自《邏輯之旅》第6章

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王浩(1921-1995)，美籍華商數字家、輯學家、計算機科學家、哲學家。1921年生於山東濟南市。1943年畢業於西南聯合大學數學系。1945年於清華大學研究生院哲學系畢業。曾師從金岳霖、王憲釣、沈有鼎等。1946年赴哈佛大學留學，師從蒯因(W.V.O.Quine)，兩年時間即獲哈佛大學哲學博士學位。在哈佛短暫教學之後赴蘇黎世與貝奈斯(Paul Bernays)一起工作。 1954-1956年，在牛津大學任第二屆約翰 · 洛克講座主講，又任邏輯及數理哲學高級教職，主持數學基礎討論班。1961-1967年，任哈佛大學教授。1967-1991年，任洛克菲勒大學邏輯學教授。20世紀50年代初被選為美國科學院院士，後又被選為不列顛科學院外國院士。1983年，被國際人工智慧聯合會授予第一屆「數學定理機械證明裡程碑獎」，以表彰他在數學定理機械證明研究領域中所作的開創性貢獻。有《數理邏輯概論》、《從數學到哲學》、《哥德爾》、《超越分析哲學》等專著。

可以設想(雖然遠遠超出今日科學的界限)，腦生理學將發展到這樣的高度，讓人們能夠在經驗上肯定：

(1)人腦足以解釋所有的心智現象，它在圖靈的意義上就是一台機器;

(2)人腦進行數學思維的部分，其物質結構和生理功能不外是如此這般。

——哥德爾吉布斯演講，1951年

可計算主義(computabilism)說的是，人腦和心靈基本上像一台計算機一樣工作；神經主義(neuralism)說的則是，人腦足以解釋心智現象。哥德爾在20世紀70年代與我的討論中，堅定地相信可計算主義和神經主義都是不正確的——這一立場排除了通過增加知識達到本章開始引文中引文第（1）點所預料的結果的可能性。如果我們不假設神經主義，那麼可計算主義的問題就分裂成兩個子問題：一個是關於神經現象的，另一個是關於心智現象的。另外，既然我們擁有相當發達的物理學，心與身的關係就常常等同於心與物的關係，這樣一來神經主義就被物理主義所替代。假若我們要澄清這些前提的話，那就可以按一種明顯的方式作以下的區分：一方面是生物、神經和心智現象的物理主義，另一方面是物理、生物、神經和心智現象的可計算主義。

在這7個不同的問題之中，哥德爾與我討論的中心問題是可計算主義對於心智過程的解釋，就是說，是否所有的思維——尤其是數學思維，都是計算的過程。哥德爾思索的要點是論證並非所有的數學思維都是計算。我們之間實際的討論開始於我的一種思考，即把機械過程作為相當成功地刻畫一般數學概念的一個例證。哥德爾特別地：

(1)評論了我關於圖靈可計算性不是一個完全明確的概念的說法(Wang，1974a；以下稱MP：81-83)；並且

(2)評論了我對於圖靈的機械過程定義的充分性的一種論證(同上：90-95)。這個論證引起哥德爾的一些回應(同上：84-85，102 注30，326)，事後想起來，其中包括了

(3)對反駁物外無心這一俗見的一種猜想。哥德爾還

(4)評論了我的一種意見，這意見乃是針對運用他的不完全性定理去否證關於心智現象的計算觀點(computerism)的諸種嘗試的(同上：315-320)。這些評論，引出了我在MP第324頁中間開始的兩段文字。考慮到應從較熟悉的材料出發，逐層遞進，本章中我打算先勘察(4)和(3)，然後返回(2)和(1)。

除了幾處偶發的感想，我循序考察哥德爾在下面一些問題上的看法：

(1)心智可計算主義與哥德爾表達數學的計算不可窮盡性的不完全性定理之間的關係；

(2)沒有堅實的證據支持流布頗廣的物理主義(或物理與心理平行論)信念；

(3)圖靈表述方式的優點和缺點，以及如何核證他對於計算機和計算的定義；

(4)物理的和神經的可計算主義。特別而言，哥德爾對問題(1)的看法，延續了他在吉布斯演講中表達的思想，演講作於1951年，講稿亦於當年寫成。(見Godel，1995以下稱CW3 )

6.1 心智可計算主義---哥德爾定理和其他的提示

要嘗試反駁心智可計算主義，慣常的思路是引證哥德爾的不可窮盡性定理。這條定理蘊含了：對每台生成定理的計算機來說，總有某個真句子，我們可以看出它是真的，但這台計算機不能生成它。因此，就證明定理而言，我們的心智力量看起來超過任何計算機。但我們要精確構造這個論證的時候，就會發現其中尚有細微的漏洞需要填補。

哥德爾定理的一種形式說的是：如果一台足夠強的定理證明機器或程序是可靠的或一致的，那麼它不能證明出表達它自身的一致性的真句子。在吉布斯演講中，哥德爾利用這種形式導出了幾條結論。1972年，他重新寫過其中的兩條結論：

6.1.1 人心不能將它所有的數學直覺都形式化(或機械化)。這就是說，如果它成功地形式化了其中一些直覺，那麼這件事實本身又生出了新的直覺性知識，比如這個形式化的一致性。這可以稱為數學的「不可完全性」。另一方面，基於迄今已證明的結果，有可能存在(甚至可以在經驗中發現)一台定理證明機器，它事實上等價於數學直覺，但不能被證明如此，甚至不能證明對有窮數論它只產生正確的定理。[見Mp：324]

6.1.2 或者人心勝過所有的機器(說得確切一些，它比任何機器都能判定更多的數論問題)，或者存在一些人心不能判定的數論問題。[不排除二者都真。]

在1972年的文本中，哥德爾繼續——超出了他的吉布斯演講——論證了一種「理性樂觀主義」，從而排斥了第二種可能(MP：324-325)。(參見第9.4節和與此論證有關的一些看法。)顯然他自己意識到了對心智可計算主義的這種反駁說服力不強，這一點可從他不斷尋求其他一些反駁方法的努力中看出。

在吉布斯演講中，哥德爾沿著一條不同的思路往前走。在一個方向上他推敲了上面6.1.1中提出的可能性，即可能存在事實上等價於數學直覺的計算機。

6.1.3 並未排除可能存在一條有窮的規則[計算機]，產生它的所有顯明的公理。然而，果然存在這樣一條規則的話，我們人類的理智肯定不能知道它原來如此；這就是說，我們不能以數學的確定性知道它產生的所有命題都是正確的；換言之，對任意有窮多個命題，我們只能逐個地知覺它們為真。但是，它們都真這種陳述，至多只能在經驗上肯定——或者依據足夠多的實例，或者通過其他的歸納推理。[哥德爾在這段話後面附上了本章開頭所引的段注釋。]

既然每條「有窮的規則」都可以用有窮多條公理和推理規則來刻畫，按我們現在所知，我們就有可能確定任意一條有窮規則是不是正確的。在這種情形下，沒有一條有窮規則能夠完全把握我們的數學直覺——因為假若它能的話，我們也會知道它的一致性，而這超出了這條規則。6.1.3的要點在於：假使有一條等價於我們的數學直覺的有窮規則，那麼我們就不會知道它是如此，否則我們也會知道這條有窮規則的一致性，所以它就不會等價於我們的數學直覺。

如果我們深思通過數學家團體的實踐揭示出來的數學直覺的特性及其發展，那麼我們或許能夠更細緻地查證，所謂數學直覺在能力上實際等價於(或不等價於)某台計算機，這種可能性究竟有多大。可是有關的現象實在是太複雜、太不確定了，至少我不敢自詡能承擔這項駭人的工作。

在吉布斯演講中，哥德爾還做了一種區分，即主觀意義上的數學——所有能推導的命題組成的系統，和客觀意義上的數學——所有真數學命題的系統。他可以用這種區分，把6.1.2重新表述成：

6.1.4 或者主觀數學在能力上超出所有的計算機，或者客觀數學超出主觀數學，或者兩者都可能真。

哥德爾隨即得出了一些權宜的、尚待推敲的結論：

6.1.5 如果第一種可能成立，那麼這似乎蘊涵了人心的運作不能歸結於人腦的運作，因為人腦在表觀上無論怎麼看都是一台有窮的機器，只有有窮多的零件，即神經元和它們的聯結。

6.1.6 [第二種可能]似乎否證了數學只是我們自己的創造的觀點；因為創造者必然知道他的創造物的所有性質，除了他給予它們的，它們無法再有其他的性質。所以，這種可能似乎蘊涵了，數學客體和事實(或至少它們中的某些)獨立於我們的心智行為和決斷而客觀存在，這就是說，某種或他種形式的針對數學客體的柏拉圖主義或「實在主義」[成立]。

如果我們接受這兩段的推理和論斷，那麼我們又得到了6.1.5（譯者註：似應為6.1.4 或6.1.2）的另一種說法：或者物理主義是假的，或者數學中的柏拉圖主義是真的，或者兩者都對。實際上，哥德爾吉布斯演講剩下的篇幅整個在試圖論證數學中的柏拉圖主義——這個題目，哥德爾與我談話時討論甚多，我把它作為第7章的主題。

哥德爾關於創造的本性和定義的思想，和他關於人腦像一台計算機的思想，屬於他最喜愛的想法。我們討論時他曾細細分析這些想法，我會在後面適當的上下文中考慮它們。現在，我僅僅限於考慮哥德爾的那些與他的定理的意蘊直接有關的看法。毫不奇怪，其中一些看法與他的吉布斯演講並無二致：

6.1.7 不完全性結果並未排除可能存在一台定理證明計算機，它事實上等價於數學直覺。但這些結果蘊涵著，在這種——換了其他的理由則非常不可思議的——情形下，我們或者不知道這台計算機的精確設置，或者不如道它在正確地工作。

6.1.8 我的不完全性定理大致表明，心靈不是機械性的，或者心靈不能理解它自己的機制。如果把我的結果與希爾伯特持有的、未被我的結果否定的理性主義態度合在一起，都么[我們可以推出]心靈不是機械性的這一明確的結果。所以如此，是因為假若心靈是台機器，則會存在人心不可判定的數論問題，而這與理性主義態度相悖。

6.1.9 有一種模糊的想法，說是我們可以找到一組公理，使得

(1)所有這些公理對我們都是顯明的；

(2)這組公理能導出全部數學。

我的不完全性定理說明，不可能建立一個滿足(1)和(2)的公理系統，因為，根據(1)，表達這個系統的以一致性的陳述對我也應該是顯明的。所有這些在我的吉布斯演講中都說得很清楚。

6.1.10 我的定理的另一個結論是兩個命題的析取：

(1)數學的顯明的公理不能包容在一個有窮的規則之中，因此人心勝過有窮的機器，在這個意義上，數學是不可完全的，或者

(2)對於人心來說，存在絕對不可判定的丟番圖問題。我的定理的這個結論，像前一個一樣，是非常鮮明的。每種情況都與唯物主義哲學衝突。情況(1)反對把心與腦等同起來。情況(2)否證了數學客體是我們的創造這一觀點。

既然哥德爾的結果是形式系統或定理證明計算機不能證明它自己的一致性，那麼反駁可計算主義的一個明顯的想法，就是去論證心靈可以證明自身的一致性。在Mp裡面，我用很長的篇幅考慮這種企圖(Mp：317-321）。哥德爾討論我的手稿的時候，對這條思路提出幾種意見。後來，他把它們總括為一句話(Mp：328，注14)：

6.1.11 對於概念、命題、證明等等的概念，在它們最寬泛的意義上，還有一些未解決的內涵悖論，所以，在當今的邏輯發展階段上，運用這些概念的自反性作出的證明，沒有一種能夠看成是確有結果的，雖然在滿意地解決了那些悖論之後，這種論證可能變得確鑿無疑。

所謂內涵悖論肯定包括了關於這種概念的悖論：是一個不能(有意義地)應用於自身的概念。【這個悖論可以這樣說明：有些概念似乎能夠有意義地應用於自身，如「是抽象的」——「是抽象的」(這個概念)是抽象的，有些則不能，如「是紅的」——不能有意義地說，「是紅的」是紅的。所以有一個概念，即文中所說的「是一個不能(有意義地)應用於身的概念」，它涵蓋所有不能(有意義地)應用於自身的概念。但這個概念能應用於自身，當且僅當它不能應用於自身。一譯者注】 哥德爾心中其他的例子，我未能知曉。至於一般的(或絕對的)證明概念的例子，可以舉出這樣一個來：這個命題不可證。【設命題「這個命題不可證」為A。其中「這個命題」即指A本身，因此A表達的是：A不可證。如果A可證，那麼A是真的，即「A不可證」是真的，因此，A不可證；反之，如果A不可證，則「A 不可證」是真的，即A是真的，這就證明了A。參見王浩《數理邏輯通俗講話》，科學出版社，1981年，第18頁。——譯者注】【老蟬再註：這個命題是一個自成命題，即為真時其為真，沒有矛盾產生；為假時，則矛盾，所以，這個命題只能為真。構造：A：A是不可證的。還有一類命題叫自毀命題，如：世界上不存在絕對真理，當其為真時，這個句子本身必須為假；反之，當其假時，沒有矛盾產生，所以，這個句子必然是假的。自毀命題和自成命題都是單方向產生矛盾，前者是為真時產出矛盾，後者是為假時產生矛盾。而自指悖論，則是兩個方向都產生矛盾，即不管其為真還是為假，都產生矛盾，比如：我在說謊。羅素悖論即為自指悖論。羅素悖論是由：所有不包含自身元素的集合的集合產生的，而所有包含自身元素的集合的集合併不生成羅素悖論，而是一個無窮遞歸】但我只是在猜測，真希望當初就問個明白。我以前說過，哥德爾把內涵悖論和語義悖論區分開來，認為前者是重要的待解決問題，後者是無關緊要的，並且已經被解決。

6.1.12 如果人們能夠用某種方式澄清內涵悖論，那麼就可以清楚地證明心靈不是機器。關於證明的一般概念的情形，類似於關於概念的一般概念。兩者都屬於垮敗的領域[隱然指Mp：190的討論]，因為我們尚未掃清圍繞著這些一般概念的那些矛盾。否則就有一個證明：一旦我們理解了證明的一般概念，我們也就獲得了心靈對於它自身的一致性的證明。現在的情形是，我們實際上可以從證明的一般概念，包括證明的自我應用中，推導出矛盾。基於我們對證明的一般概念的有缺陷的理解，我們可以潛在地達到這樣的結論：顯明性乾脆就是不一致的。這說明我們的邏輯觀念出了毛病，而它們本應是明白無誤的。

6.1.13 概念的概念和絕對證明[簡稱AP]的概念可以相互定義。對於AP來說明明白白的東西，導致了一些與羅素悖論相去不遠的矛盾。直覺主義如果加上AP就是不一致的。Ap可能是一個觀念[康德意義上的]：可一旦人們可以系統地敘述和證明事情，我們就不再具有一個觀念[而是具有一個概念]。[在進一步研究之前]退一步承認Ap或概念的一般概念是一個觀念，這是不能令人滿意的。糾纏著AP的悖論是內涵的——而不是語義的——悖論。我在普林斯頓200年慶典演講【重印於哥德爾，1990；以下稱cw2150-153]中，曾討論過AP問題。

6.1.14 有可能找到AP的一個清晰的說明，數學直覺用它可以證明自身的一致性，因而顯示自己不同於機器。但是，既然我們並不明白AP，數學直覺的一致性就可能不是一個命題或至少不是那麼顯明。如果解決了糾纏著AP的悖論，這種[通過證明我們的數學直覺的一致性來反駁可計算主義的] 論證就可能是正確的，因為[對一致性的]證明可能屬於保留下來的領城。

6.1.15 布勞威爾反對談論所有的證明或所有可構造的客體。因此按他的解釋，外延的和內涵的悖論在直覺主義里都不出硯。但是我認為把所有排除在外，就像在概念論里訴諸類型論，[從直覺主義的立場來說]是相當隨意的。

6.1.16 要是你接受AP作為一個概念的話，馬上就會顯出我是一致的。在我自己把人心也作為一個概念的使用中，有一個表面的矛盾。需要避免的是以自指的方式使用這個概念。在我們不知道如何來做。但我並不以自指的方式使用人心的概念。

依我之見，哥德爾從6.1.11到6.1.16的看法，在所處的上下文中，其主要之點乃是這樣一種思想：如果我們對證明的一般概念有了更好的理解，就可以直接看出，我們能夠在數學上證明的東西的全體確實是一致的。果然如此，數學直覺就可以看到並且證明自身的一致性，這一點不同於計算機。哥德爾採取康德關於觀念和概念的區分，似乎要說明以我們目前的無知，絕對證明看起來像一個觀念，但它藉助於進一步的研究也可以變成一個概念。假如我們能夠把絕對證明看做一個概念，那麼我們就能以系統的方式陳述和證明和它有關的事情。特別地，我們應該能夠運用我們改善了的數學直覺去證明它自身的一致性。

下面是哥德爾在一些有關問題上的些許見解。

6.1.17 人們說到心靈的時候，說的並不是一台(任何一般意義上的)機器，而是一台覺察到自身的正確性的機器。

1972年6月，在一個紀念馮·諾伊曼的會議上，哥德爾提出了這個問題：

6.1.18 一台完全知道自己的程序的機器，這樣一個想法之中有什麼矛盾的東西嗎？

6.1.19 人腦是一台與精神相聯接的計算機。[比較6.2.14]

6.1.20 機器總是知道理由。我們在提不出證明時，也可以知道或固執地猜想一個陳述。說到自我分析，我們並未察覺我們之內的所有東西；我們對心內的大部分，完全是無意識的。我們懵懂不清，經常左右搖擺。意識是主要的差別所在。

6.1.21 意識與一個統一體相聯繫。機器則由各部分組成。[比較9.4.13]

6.1.22 主動的理智作用於被動的理智，後者以某種方式掩蓋了前者的作為，並且充當一個中介來幫助我們。[比較7.3.14]

比較哥德爾使用人心和數學直覺兩個詞時，術語上有些糾纏。我傾向於從人類集體經驗上來理解，所以曾就用法問題向他請教。他的回答向我提示出一種簡約性的理想化：

6.1.23 所謂心靈，我指一種無生命期限的個體心靈。這仍然有別於人類集體心靈。想像一個人致力於解決整個一組問題：這很接近實際人們不斷地引進新的公理。

1976年6月5日，哥德爾告訴我一種猜想，他相信，這猜想若是真的，就會證明心靈比計算機優越(RG 197，關於它的敘述有誤）：

6.1.24 這會是一個非常有趣的結果：證明最短的判定程序要求很長的時間去判定相對短的命題。具體些講，有可能證明對於每一個可判定的系統和它的每一個判定程序，存在某個長度短於200的命題，它的最短的證明長於10^20。這樣的結果實際上意味著計算機不能夠取代人心，人心可以給出新的想法，作出簡短的證明。【老蟬註：阿爾法狗的兩個演算法似乎解決了這個問題，但不盡然哦，為什麼？】

未完，敬請期待

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