試探乘、除法的運算模型

華東師範大學教授張奠宙老先生在《小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現》一書中指出：在除法與分數教學中，最常用的情境是「平均分物」。這一數學模型涉及兩種除法，俗稱「等份除」和「包含除」。他認為這兩種雖然是不同意義的除法，但它們是一對「孿生兄弟」，地位是平等的，不管是教材編寫者，還是我們的一線教師都不可「偏愛」哪一個。

由此，筆者有了一些想法，張老先生只是舉了「平均分物」的情境，那麼還有表示兩個數的倍比關係的除法應該屬於哪一種呢？我覺得，如果想弄清楚這些除法的奧秘，還得從它的逆運算——乘法談起。

先來談談什麼叫乘法？小學教材中都引用了這樣的定義：求幾個相同加數和的簡便運算，叫做乘法。也就是說乘法是加法的簡便運算。如：2+2+2+2+2=10，我們就可以寫成2×5=10，而這個算式所表示的意義就是：表示5個2是多少(目前的教材里，也可以把這個算式說成2個5是多少，不過張奠宙先生是持反對意見的。)，當然也可以表示2的5倍是多少。前一個意義表示幾個幾，後一個意義表示兩個數的倍比關係。這兩種意義我們可以看成乘法的運算模型，當我們在生活和學習中，遇到了求a個b是多少？或是遇到了a的b倍是多少？我都是可以用乘法來計算的。

研究了乘法的兩種表示的意義，對於它的逆運算——除法的研究，就有了「抓手」。首先，說說乘法第一種表示的意義，也就是a個b是多少？正是有了這個意義，在除法里才有了「等分除」和「包含除」兩種不同的意義的除法。如果a個b是c，現在我們把c平均分成a份，每份是多少？這就是「等份除」。這也是我們在小學階段用的最多的一種除法，張先生的研究顯示，我們小學各種版本的教材，無一例外的「偏愛」這種除法，忽視了除法本質涵義。還有一種是，如果a個b是c，現在我們把c平均分成若干等份，每份是b，能分成多少份？雖然這也是用除法來計算，但是意義截然不同。這裡是在求c裡面有多少個b？應當屬於「包含除」。這種除法在小學六年級學習「分數除法」的時候，用得最多。而多數教材，在前面幾個年級的數學學習中，並沒有把「包含除」和「等份除」同等看待，導致學生在「分數除法」這一內容的學習，顯得非常困難。教材如何編寫，筆者暫且不論，但是作為一名小學數學老師，我們一定要知道，這兩種除法，它們的來源正是乘法里的「幾個幾是多少」，這樣我們的教學才有了真正的「底氣」。

那麼c是a的多少倍，用除法來計算，它的源頭在哪呢？對了，就是乘法中，a的b倍是多少？筆者認為，不管是乘法，還是除法。這兩種都是表示兩個數的倍比關係，在乘法里表示一個數的多少倍（或者是幾分之幾、百分之幾）是多少，在除法里表示甲是乙的多少倍（或者是幾分之幾、百分之幾）？這樣一來，我們就打通了乘、除法兩者之間關係。

綜上所述，筆者試圖用乘、除法的互逆關係，探究它們的不同的運算模型，並嘗試說明乘、除法里的運算模型之間的聯繫。為了更好的說明，試用下圖來表示，由於水平有限，歡迎批評指正。

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