數學反常識——有哪些數學常識與人們的生活經驗不符？

聖彼得堡悖論（St. Petersburg Paradox）：一場賭博遊戲，大家投擲硬幣直至出現正面為止，一共投擲的非正面的次數假設為 N，則可以贏得 2^N 元的獎金，那麼你願意投入多少錢來參加這個遊戲？實際上參加這個遊戲你能贏到的錢的期望是多少？

通過分析可以知道，實際上你贏錢的期望值是巨大的。那麼如果真的有這樣一個提供這種遊戲的賭場，為了使賭場不至於虧本，公平起見，你也應該投入很多的錢來玩這個遊戲。可是我們的直覺都會告訴我們，即使是來參加一場「公平」的賭博，那也不應該投入太多的錢來參加這個遊戲，甚至有心理學的統計表明，大多數人從直覺上考慮，會覺得投入 2~4 塊左右的錢來玩這個遊戲才是比較公平的。考慮邊際效益遞減，這種「錯誤」或許反而是「理性的勝利」。不管怎樣，這個問題分析得到的結果很可能與你的最初直覺違背。更多的分析請參考維基百科條目「聖彼得堡悖論」。在這個悖論的基礎上，產生了效用函數（Utility）的理論。

Monty Hall 三門問題：「參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？」

這個問題也是被說爛了的，換門後會大大增加中獎概率，但這與直覺會相違背。條件概率的有關問題在日常生活中經常容易犯錯，我們自己在某種賭博中連續輸了好幾次之後總是安慰自己，「我靠，連續輸這麼多次了，下次怎麼也不可能再輸了吧」；又或者那種笑話「自己帶一個炸彈上飛機」；再例如考試常考的「已知老王家有一個兒子，那麼他再生一個兒子的概率是多少？」我們自己常常會在這些事情上犯錯。

最短的路徑的修建（Steiner 樹問題）：如果希望連接正方形上四個頂點處的四個城市，怎樣修建公路可以使得總路徑最短？你能「直覺」想到想到如下圖所示的結果嗎？（最優解時，角 AEB = 120°，在邊長 a=1 的情況下，總路線長度將小於對角線式的連接方式，計算可得： L = 1+sqrt(3) = 2.732

數學上還有很多很多這樣的例子：以為很簡單的問題其實是很難的難題；有時候做著做著就忘了某些定理成立的條件；一些看似簡單的方程卻存在一些奇特的解的形態，不考慮條件概率和 Bayesian 定理從而相信各種偽科學……說得極端點，在受過教育之前，我們對數學幾乎完全沒有可以天生的直覺，幾乎（這個「幾乎」也可以看成是數學用語^_^）只要一出手就會錯。我們會很難相信奇數跟整數一樣多，整數跟有理數一樣多（ Hilbert 旅店問題），無窮長的周長可以圍著有限的面積，關聯不意味著因果，調和級數是發散的，甚至邏輯上的逆命題、否命題、逆否命題……所有這些都只有在稍稍經過訓練之後才有可能出現這種「直覺」。

來源：數學人工智慧

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